Calcule os determinantes usando expansão de cofatores por qualquer linha ou coluna que pareça conveniente.
(h) |llll0 & 0 & 0 & a 0 & 0 & b & c 0 & d & e & f g & h & i & j|

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma matriz 4x4 e precisa calcular o determinante dela usando a expansão de cofatores. Para facilitar, vamos escolher uma linha ou coluna que tenha mais zeros, porque isso simplifica a conta. Olhando a matriz, a primeira linha tem três zeros, então vamos usar ela para expandir.

Passo 2

Na primeira linha, os elementos são , , e . Como três deles são zero, quando a gente expande pelos cofatores, só o último elemento ( ) vai contribuir para o determinante. Isso porque qualquer coisa vezes zero dá zero, então só o conta mesmo.

Passo 3

Agora, o elemento C1,4 = (-1)^5 times |ccc 0 & 0 & b 0 & d & e g & h & i | está na posição (1,4) da matriz. O cofator correspondente a é dado por vezes o determinante da matriz que sobra quando a gente remove a primeira linha e a quarta coluna. Ou seja:

Passo 4

Vamos calcular esse determinante 3x3:
|ccc 0 & 0 & b 0 & d & e g & h & i | = 0 times (d times i - e times h) - 0 times (0 times i - b times g) + b times (0 times h - d times g)
Simplificando:
= 0 - 0 + b times (-d g) = -b d g

Passo 5

Agora, voltando ao cofator:
C1,4 = (-1)^5 times (-b d g) = -1 times (-b d g) = b d g
Então, o determinante da matriz é:
Determinante = a times C1,4 = a times b d g = a b d g

Resposta

O determinante da matriz é .

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