Calcule os determinantes usando expansão de cofatores por qualquer linha ou coluna que pareça conveniente.
(a) |ccc5 & 2 & 2 -1 & 1 & 2 3 & 0 & 0|

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa calcular o determinante da matriz dada usando a expansão de cofatores. Isso faz parte do conteúdo de Álgebra Linear. Pra resolver, vamos precisar entender como funciona a expansão de cofatores e saber como calcular determinantes de matrizes menores.

Passo 2

Primeiro, olha a matriz que a gente tem:
5 & 2 & 2 -1 & 1 & 2 3 & 0 & 0
Vamos escolher uma linha ou coluna que facilite nossos cálculos. Observando, a terceira coluna tem um zero, o que ajuda a simplificar as coisas. Então, vamos expandir pela terceira coluna.

Passo 3

A expansão de cofatores pela terceira coluna significa que vamos multiplicar cada elemento da coluna pelo seu cofator e somar tudo. A fórmula geral para a expansão de cofatores numa coluna det(A) = sumi=1^n (-1)^i+j cdot aij cdot det(Mij) é:
Aqui, é o elemento da linha e coluna , e é a matriz que sobra quando removemos a linha e a coluna .

Passo 4

Aplicando isso à terceira coluna da nossa matriz:
det(A) = (-1)^1+3 cdot 2 cdot det( -1 & 1 3 & 0 ) + (-1)^2+3 cdot 2 cdot det( 5 & 2 3 & 0 ) + (-1)^3+3 cdot 0 cdot det( 5 & 2 -1 & 1 )
Note que o último termo é zero porque o elemento da terceira linha, terceira coluna é zero, então não precisamos calcular esse determinante.

Passo 5

Vamos calcular os determinantes das matrizes 2x2 que sobraram:
  1. Para a primeira parte:
det( -1 & 1 3 & 0 ) = (-1)(0) - (1)(3) = -3
  1. Para a segunda parte:
det( 5 & 2 3 & 0 ) = 5(0) - 2(3) = -6

Passo 6

Substituindo esses valores de volta na expressão do determinante:
det(A) = (-1)^4 cdot 2 cdot (-3) + (-1)^5 cdot 2 cdot (-6) + 0
Simplificando os sinais:
= 1 cdot 2 cdot (-3) + (-1) cdot 2 cdot (-6) + 0
= -6 + 12 + 0
= 6

Resposta

O determinante da matriz é 6.

Exercícios relacionados

Assuma que A e B sejam matrizes nxn com |A|=2 e |B|=-3. Ache os determinantes indicados.
(f) |16 B^3 A|.
Assuma que A e B sejam matrizes nxn com |A|=2 e |B|=-3. Ache os determinantes indicados.
(a) |AB|
Calcule os determinantes usando expansão de cofatores por qualquer linha ou coluna que pareça conveniente.
(f) |lll0 & a & 0 b & c & d 0 & e & 0|
Construa a matriz de ordem 3, definida por ai j=ll2 i^2-5 j, & se i= j