Calcule os determinantes usando expansão de cofatores por qualquer linha ou coluna que pareça conveniente.
(g) |cccc1 & -1 & 0 & 3 2 & 5 & 2 & 6 0 & 1 & 0 & 0 1 & 4 & 2 & 1|

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular o determinante de uma matriz 4x4 usando a expansão de cofatores. Isso faz parte da matéria de Álgebra Linear, especificamente no estudo de determinantes. Para resolver, vamos precisar escolher uma linha ou coluna que facilite nossos cálculos, preferencialmente com zeros para simplificar as contas.

Passo 2

Dando uma olhada na matriz:
1 & -1 & 0 & 3 2 & 5 & 2 & 6 0 & 1 & 0 & 0 1 & 4 & 2 & 1
A terceira linha tem dois zeros, o que é ótimo porque reduz o número de cofatores que precisamos calcular. Então, vamos expandir os cofatores por essa linha.

Passo 3

A fórmula para o determinante usando a expansão de cofatores pela linha 3 é:
det(A) = a31C31 + a32C32 + a33C33 + a34C34
Onde det(A) = 0 cdot C31 + 1 cdot C32 + 0 cdot C33 + 0 cdot C34 = C32 são os elementos da linha 3 e são os cofatores correspondentes.
Na nossa matriz, os elementos da linha 3 são: 0, 1, 0, 0. Isso simplifica a fórmula:

Passo 4

Agora, vamos calcular o cofator C32 = (-1)^3+2 cdot det(M32) . A fórmula do cofator é:
M32 = 1 & 0 & 3 2 & 2 & 6 1 & 2 & 1
Onde C32 = (-1)^5 cdot det( 1 & 0 & 3 2 & 2 & 6 1 & 2 & 1 ) = -det(M32) é a matriz menor obtida removendo a linha 3 e a coluna 2:
Então:

Passo 5

Vamos calcular o determinante de det(M32) = 1 cdot det( 2 & 6 2 & 1 ) - 0 cdot det( 2 & 6 1 & 1 ) + 3 cdot det( 2 & 2 1 & 2 ) . Podemos usar a expansão pela primeira linha para facilitar:
det( 2 & 6 2 & 1 ) = (2)(1) - (6)(2) = 2 - 12 = -10
Calculando cada determinante 2x2:
det( 2 & 2 1 & 2 ) = (2)(2) - (2)(1) = 4 - 2 = 2
det(M32) = 1 cdot (-10) - 0 + 3 cdot 2 = -10 + 6 = -4
Então:

Passo 6

Voltando ao cofator C32 = -det(M32) = -(-4) = 4 :

Resposta

O determinante da matriz dada é 4.

Exercícios relacionados

Determine se a matriz dada está na forma escalonada por linhas (FE). Se estiver, Indique se ela também está na forma escalonada reduzida (FER).
(e) (cccc1 & 3 & 4 & 1 0 & 1 & 2 & 3 0 & 0 & 1 & -5 0 & 0 & 0 & 0)
Dadas as matrizes
A3 times 4 & =[cccc 2 & 5 & 1 & 4 -1 & -3 & -12 & 0 1 & -1 & 3 & 6 ], B3 times 4 & =[cccc -3 & 2 & -3 & 1 -4 & 3 & -2 & 5 5 & 2 & 3 & 6 ]
Calcule:
d) 5 A+5 B
Use propriedades para calcular o valor do determinante indicado, por inspeção direta. Explique seu raciocínio.
(d) |ccc2 & 3 & -4 1 & -3 & -2 -1 & 5 & 2|
Encontre os determinantes indicados, sabendo que
|lll a & b & c d & e & f g & h & i |=4
(f) |cca & b 2 d-3 g & 2 e-3 h g & h|