Use propriedades para calcular o valor do determinante indicado, por inspeção direta. Explique seu raciocínio.
(d) |ccc2 & 3 & -4 1 & -3 & -2 -1 & 5 & 2|

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse determinante que você enviou! A questão pede para calcular o valor do determinante da seguinte matriz:
2 & 3 & -4 1 & -3 & -2 -1 & 5 & 2
Estamos trabalhando com determinantes de matrizes 3x3, e vamos usar propriedades de determinantes para facilitar o cálculo sem precisar expandir completamente.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar uma propriedade útil: se duas linhas ou colunas da matriz são múltiplas entre si, o determinante é zero. Olhando para a nossa matriz, percebemos que nenhuma linha é múltiplo exato de outra, então essa propriedade não ajuda diretamente. Mas podemos usar outra estratégia: simplificar a matriz usando operações que não mudam o determinante ou que o modificam de forma controlada.

Passo 3

Vamos tentar simplificar a matriz transformando um dos elementos em zero. Vamos focar na primeira coluna. Se subtrairmos duas vezes a segunda linha da primeira linha, conseguimos zerar o elemento abaixo do primeiro elemento da primeira coluna. Vamos lá:
R1' = R1 - 2 times R2
Aplicando isso:
R1' = 2 & 3 & -4 - 2 times 1 & -3 & -2 = 0 & 9 & 0
Então, a matriz fica:
0 & 9 & 0 1 & -3 & -2 -1 & 5 & 2

Passo 4

Agora, com a primeira coluna simplificada, podemos calcular o determinante de forma mais fácil. Vamos usar a regra de Sarrus ou a regra de Laplace. Aqui, vamos expandir pelo primeiro elemento não zero da primeira coluna, que é o 1 na segunda linha.
A fórmula para o determinante de uma matriz 3x3 é:
det(A) = a(ei - fh) - b(di - fg) + c(dh - eg)
Onde a, b, c, etc., são os elementos da matriz. Mas como já simplificamos, vamos calcular diretamente:
det(A) = 0 cdot det -3 & -2 5 & 2 - 9 cdot det 1 & -2 -1 & 2 + 0 cdot det 1 & -3 -1 & 5
Simplificando, apenas o segundo termo importa:
det(A) = -9 cdot [(1 times 2) - (-2 times -1)] = -9 cdot (2 - 2) = -9 cdot 0 = 0

Resposta

O valor do determinante é 0.

Exercícios relacionados

Calcule os determinantes usando expansão de cofatores por qualquer linha ou coluna que pareça conveniente.
(g) |cccc1 & -1 & 0 & 3 2 & 5 & 2 & 6 0 & 1 & 0 & 0 1 & 4 & 2 & 1|
Determine se a matriz dada está na forma escalonada por linhas (FE). Se estiver, Indique se ela também está na forma escalonada reduzida (FER).
(e) (cccc1 & 3 & 4 & 1 0 & 1 & 2 & 3 0 & 0 & 1 & -5 0 & 0 & 0 & 0)
Encontre os determinantes indicados, sabendo que
|lll a & b & c d & e & f g & h & i |=4
(f) |cca & b 2 d-3 g & 2 e-3 h g & h|
Em cada um dos casos abaixo, determine (se existir) o ponto de interseção dos segmentos AA^prime e BB^prime. Se os segmentos não se intersectarem, decida se eles pertencem a retas concorrentes, paralelas ou coincidentes.
A=(1,234), A^prime=(0,123), B=(315,18), B^prime=(317,240);