Use propriedades para calcular o valor do determinante indicado, por inspeção direta. Explique seu raciocínio.
(d) |ccc2 & 3 & -4 1 & -3 & -2 -1 & 5 & 2|

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse determinante que você enviou! A questão pede para calcular o valor do determinante da seguinte matriz:
2 & 3 & -4 1 & -3 & -2 -1 & 5 & 2
Estamos trabalhando com determinantes de matrizes 3x3, e vamos usar propriedades de determinantes para facilitar o cálculo sem precisar expandir completamente.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar uma propriedade útil: se duas linhas ou colunas da matriz são múltiplas entre si, o determinante é zero. Olhando para a nossa matriz, percebemos que nenhuma linha é múltiplo exato de outra, então essa propriedade não ajuda diretamente. Mas podemos usar outra estratégia: simplificar a matriz usando operações que não mudam o determinante ou que o modificam de forma controlada.

Passo 3

Vamos tentar simplificar a matriz transformando um dos elementos em zero. Vamos focar na primeira coluna. Se subtrairmos duas vezes a segunda linha da primeira linha, conseguimos zerar o elemento abaixo do primeiro elemento da primeira coluna. Vamos lá:
R1' = R1 - 2 times R2
Aplicando isso:
R1' = 2 & 3 & -4 - 2 times 1 & -3 & -2 = 0 & 9 & 0
Então, a matriz fica:
0 & 9 & 0 1 & -3 & -2 -1 & 5 & 2

Passo 4

Agora, com a primeira coluna simplificada, podemos calcular o determinante de forma mais fácil. Vamos usar a regra de Sarrus ou a regra de Laplace. Aqui, vamos expandir pelo primeiro elemento não zero da primeira coluna, que é o 1 na segunda linha.
A fórmula para o determinante de uma matriz 3x3 é:
det(A) = a(ei - fh) - b(di - fg) + c(dh - eg)
Onde a, b, c, etc., são os elementos da matriz. Mas como já simplificamos, vamos calcular diretamente:
det(A) = 0 cdot det -3 & -2 5 & 2 - 9 cdot det 1 & -2 -1 & 2 + 0 cdot det 1 & -3 -1 & 5
Simplificando, apenas o segundo termo importa:
det(A) = -9 cdot [(1 times 2) - (-2 times -1)] = -9 cdot (2 - 2) = -9 cdot 0 = 0

Resposta

O valor do determinante é 0.

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