Calcule a diferencial das funções seguintes:
(b)

Passo 1

Beleza, vamos calcular a diferencial da função . Isso faz parte do estudo de cálculo diferencial multivariável. Para resolver, a gente precisa entender como encontrar a diferencial de uma função que depende de várias variáveis, neste caso, , e . A diferencial basicamente nos mostra como pequenas mudanças em , e afetam a mudança na função .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como calcular a diferencial de uma função de várias variáveis. A fórmula é:
Aqui, , e são as derivadas parciais de em relação a cada variável, e , , são as variações infinitesimais dessas variáveis.

Passo 3

Vamos calcular cada derivada parcial uma por uma.
Primeiro, a derivada parcial de em relação a :
Porque a derivada de é , e e são tratadas como constantes.

Passo 4

Agora, a derivada parcial de em relação a :
Aqui, e são constantes em relação a , então a derivada de é 1.

Passo 5

Por último, a derivada parcial de em relação a :
Similarmente, e são constantes em relação a , e a derivada de é 1.

Passo 6

Agora, substituímos essas derivadas na fórmula da diferencial:
Isso representa como a função muda em resposta a pequenas variações em , e .

Resposta

A diferencial da função é:

Exercícios relacionados

Faça o esboço da função em seu domínio segundo o roteiro: Encontre os intervalos de concavidade e os pontos de inflexão de .
Use coordenadas cilíndricas para determinar o volume do sólido que está abaixo do paraboloide , fora do cilindro e acima do plano .
Indique o domínio da função definida por
Calcule a diferencial das funções seguintes:
(d)