Calcule a diferencial das funções seguintes:
(b)
(b)
Passo 1
Beleza, vamos calcular a diferencial da função
. Isso faz parte do estudo de cálculo diferencial multivariável. Para resolver, a gente precisa entender como encontrar a diferencial de uma função que depende de várias variáveis, neste caso,
,
e
. A diferencial basicamente nos mostra como pequenas mudanças em
,
e
afetam a mudança na função
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como calcular a diferencial de uma função de várias variáveis. A fórmula é:
Aqui,
,
e
são as derivadas parciais de
em relação a cada variável, e
,
,
são as variações infinitesimais dessas variáveis.
Passo 3
Vamos calcular cada derivada parcial uma por uma.
Primeiro, a derivada parcial de
em relação a
:
Porque a derivada de
é
, e
e
são tratadas como constantes.
Passo 4
Agora, a derivada parcial de
em relação a
:
Aqui,
e
são constantes em relação a
, então a derivada de
é 1.
Passo 5
Por último, a derivada parcial de
em relação a
:
Similarmente,
e
são constantes em relação a
, e a derivada de
é 1.
Passo 6
Agora, substituímos essas derivadas na fórmula da diferencial:
Isso representa como a função
muda em resposta a pequenas variações em
,
e
.
Resposta
A diferencial da função
é:
Exercícios relacionados
Faça o esboço da função
em seu domínio segundo o roteiro: Encontre os intervalos de concavidade e os pontos de inflexão de
.
Use coordenadas cilíndricas para determinar o volume do sólido que está abaixo do paraboloide
, fora do cilindro
e acima do plano
.
Indique o domínio da função
definida por
Calcule a diferencial das funções seguintes:
(d)
(d)