Calcule a diferencial das funções seguintes:
(a)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para calcular a diferencial da função . Vamos usar conceitos de cálculo diferencial, especificamente as derivadas parciais, para encontrar a diferencial dessa função. Precisaremos lembrar como calcular as derivadas parciais em relação a cada variável.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a derivada parcial de em relação a . Isso significa que tratamos como uma constante e diferenciamos em relação a .
A função é .
Derivando em relação a :

Passo 3

Agora, vamos encontrar a derivada parcial de em relação a . Aqui, tratamos como uma constante e diferenciamos em relação a .
Derivando a função em relação a :

Passo 4

Com as derivadas parciais encontradas, podemos escrever a diferencial da função . A diferencial é dada pela soma das derivadas parciais multiplicadas pelas variações das respectivas variáveis:
Substituindo as derivadas parciais que calculamos:

Resposta

A diferencial da função é:

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(b)
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As dimensões de uma caixa retangular são e , com possível de em cada dimensão. Calcule o valor aproximado do volume da caixa e o possível erro.