Determine o raio e o intervalo de convergência das séries de potências abaixo.
Passo 1
Beleza, vamos começar resumindo o que o exercício pede e o que vamos precisar para resolvê-lo.
Enunciado Resumido: Precisamos encontrar o raio de convergência e o intervalo de convergência da seguinte série de potências:
Conteúdo da Matéria: Vamos trabalhar com séries de potências e usar o Teste da Razão (ou Teste do Quociente) para determinar o raio e o intervalo de convergência.
O que vamos precisar:
Saber como simplificar a expressão geral da série.
Aplicar o Teste da Razão.
Resolver a desigualdade resultante para encontrar o raio de convergência.
Determinar o intervalo de convergência com base no raio encontrado.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar o termo geral da série para facilitar a aplicação do Teste da Razão.
O termo geral é:
Simplificando o Numerador:
O produto é o produto dos primeiros números ímpares, que pode ser expresso como:
Simplificando o Denominador:
O produto pode ser fatorado:
Substituindo na expressão de :
Então, o termo geral simplificado é:
Passo 3
Agora que simplificamos o termo geral, vamos aplicar o Teste da Razão para encontrar o raio de convergência.
O Teste da Razão diz que para uma série , o limite
determina a convergência da série:
Se , a série converge.
Se , a série diverge.
Se , o teste é inconclusivo.
Vamos calcular esse limite para o nosso caso.
Primeiro, encontramos :
Agora, calculamos :
Como estamos interessados no limite do valor absoluto, o pode ser descartado:
Passo 4
Vamos calcular o limite quando tende ao infinito:
Primeiro, expandimos os termos no numerador e denominador:
Substituindo no limite:
Dividindo todos os termos por :
Passo 5
Agora, aplicamos o Teste da Razão:
A série converge quando :
Resolvendo para :
Portanto, o raio de convergência é .
Passo 6
Com o raio de convergência determinado, precisamos encontrar o intervalo de convergência. Sabemos que a série converge para , ou seja:
No entanto, para garantir o intervalo completo, precisamos verificar a convergência nos pontos finais e .
Para :
Substituindo na série:
Simplificando:
Este é similar a uma série alternada que converge pela Regra de Leibniz.
Para :
Substituindo na série:
Esta série não é alternada e diverge.
Conclusão do Intervalo de Convergência:
A série converge para:
Resposta
O raio de convergência é e o intervalo de convergência é .