Determine o raio e o intervalo de convergência das séries de potências abaixo. sumn=1^infty(-1)^n 1 cdot 3 cdot 5 cdot 7 cdots cdot(2 n-1) x^n3 cdot 6 cdot 9 cdots 3 n

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que o exercício pede e o que vamos precisar para resolvê-lo.
Enunciado Resumido: Precisamos encontrar o raio de convergência e o intervalo de convergência da seguinte série de potências:
sumn=1^infty (-1)^n 1 cdot 3 cdot 5 cdot 7 cdots (2n-1) , x^n3 cdot 6 cdot 9 cdots 3n
Conteúdo da Matéria: Vamos trabalhar com séries de potências e usar o Teste da Razão (ou Teste do Quociente) para determinar o raio e o intervalo de convergência.
O que vamos precisar:
  1. Saber como simplificar a expressão geral da série.
  2. Aplicar o Teste da Razão.
  3. Resolver a desigualdade resultante para encontrar o raio de convergência.
  4. Determinar o intervalo de convergência com base no raio encontrado.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar o termo geral da série para facilitar a aplicação do Teste da Razão.
O termo geral é:
an = (-1)^n 1 cdot 3 cdot 5 cdot 7 cdots (2n-1) , x^n3 cdot 6 cdot 9 cdots 3n
Simplificando o Numerador:
O produto 1 cdot 3 cdot 5 cdots (2n-1) é o produto dos primeiros n números ímpares, que pode ser expresso como:
1 cdot 3 cdot 5 cdots (2n-1) = (2n)!2^n cdot n!
Simplificando o Denominador:
O produto 3 cdot 6 cdot 9 cdots 3n pode ser fatorado:
3^n cdot (1 cdot 2 cdot 3 cdots n) = 3^n cdot n!
Substituindo na expressão de an:
an = (-1)^n (2n)!2^n cdot n! cdot x^n3^n cdot n! = (-1)^n (2n)!2^n cdot n! cdot 3^n cdot n! cdot x^n = (-1)^n (2n)!(n!)^2 cdot 6^n cdot x^n
Então, o termo geral simplificado é:
an = (-1)^n (2n)!(n!)^2 cdot 6^n cdot x^n

Passo 3

Agora que simplificamos o termo geral, vamos aplicar o Teste da Razão para encontrar o raio de convergência.
O Teste da Razão diz que para uma série sum an, o limite
L = limn to infty | an+1an |
determina a convergência da série:
  • Se L < 1, a série converge.
  • Se L > 1, a série diverge.
  • Se L = 1, o teste é inconclusivo.
Vamos calcular esse limite para o nosso caso.
Primeiro, encontramos an+1:
an+1 = (-1)^n+1 (2(n+1))!((n+1)!)^2 cdot 6^n+1 cdot x^n+1
Agora, calculamos an+1an:
an+1an = (-1)^n+1 (2n+2)!((n+1)!)^2 cdot 6^n+1 cdot x^n+1(-1)^n (2n)!(n!)^2 cdot 6^n cdot x^n = (-1) cdot (2n+2)(2n+1)(n+1)^2 cdot 6 cdot x
Como estamos interessados no limite do valor absoluto, o (-1) pode ser descartado:
| an+1an | = (2n+2)(2n+1)(n+1)^2 cdot 6 cdot |x|

Passo 4

Vamos calcular o limite quando n tende ao infinito:
L = limn to infty (2n+2)(2n+1)(n+1)^2 cdot 6 cdot |x|
Primeiro, expandimos os termos no numerador e denominador:
(2n+2)(2n+1) = 4n^2 + 6n + 2
(n+1)^2 = n^2 + 2n + 1
Substituindo no limite:
L = limn to infty 4n^2 + 6n + 2n^2 + 2n + 1 cdot 16 cdot |x|
Dividindo todos os termos por n^2:
L = limn to infty 4 + 6n + 2n^21 + 2n + 1n^2 cdot 16 cdot |x| = 41 cdot 16 cdot |x| = 46 |x| = 23 |x|

Passo 5

Agora, aplicamos o Teste da Razão:
A série converge quando L < 1:
23 |x| < 1
Resolvendo para |x|:
|x| < 32
Portanto, o raio de convergência é R = 32.

Passo 6

Com o raio de convergência determinado, precisamos encontrar o intervalo de convergência. Sabemos que a série converge para |x| < 32, ou seja:
- 32 < x < 32
No entanto, para garantir o intervalo completo, precisamos verificar a convergência nos pontos finais x = -32 e x = 32.
Para x = 32:
Substituindo na série:
sumn=1^infty (-1)^n (2n)!(n!)^2 cdot 6^n ( 32 )^n
Simplificando:
sumn=1^infty (-1)^n (2n)!(n!)^2 cdot ( 32 cdot 6 )^n = sumn=1^infty (-1)^n (2n)!(n!)^2 cdot ( 14 )^n
Este é similar a uma série alternada que converge pela Regra de Leibniz.
Para x = -32:
Substituindo na série:
sumn=1^infty (-1)^n (2n)!(n!)^2 cdot 6^n ( -32 )^n = sumn=1^infty (2n)!(n!)^2 cdot ( 14 )^n
Esta série não é alternada e diverge.
Conclusão do Intervalo de Convergência:
A série converge para:
- 32 < x <= 32

Resposta

O raio de convergência é R = 32 e o intervalo de convergência é - 32 < x <= 32.

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