Determine o raio e o intervalo de convergência das séries de potências abaixo.
Passo 1
Beleza, vamos começar resumindo o que o exercício pede e o que vamos precisar para resolvê-lo.
Enunciado Resumido: Precisamos encontrar o raio de convergência e o intervalo de convergência da seguinte série de potências:
Conteúdo da Matéria: Vamos trabalhar com séries de potências e usar o Teste da Razão (ou Teste do Quociente) para determinar o raio e o intervalo de convergência.
O que vamos precisar:
Saber como simplificar a expressão geral da série.
Aplicar o Teste da Razão.
Resolver a desigualdade resultante para encontrar o raio de convergência.
Determinar o intervalo de convergência com base no raio encontrado.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar o termo geral da série para facilitar a aplicação do Teste da Razão.
O termo geral é:
Simplificando o Numerador:
O produto é o produto dos primeiros números ímpares, que pode ser expresso como:
Simplificando o Denominador:
O produto pode ser fatorado:
Substituindo na expressão de :
Então, o termo geral simplificado é:
Passo 3
Agora que simplificamos o termo geral, vamos aplicar o Teste da Razão para encontrar o raio de convergência.
O Teste da Razão diz que para uma série , o limite