Calcule as integrais abaixo

Passo 1

Beleza, vamos calcular a integral definida de de a . Esse exercício está dentro do cálculo integral, mais especificamente lidando com integrais de funções trigonométricas. Para resolver isso, vamos usar técnicas de integração envolvendo identidades trigonométricas e integração por partes.

Passo 2

Primeiro, lembramos que pode ser reescrito usando uma identidade trigonométrica. Sabemos que:
Então, podemos expressar como :

Passo 3

Agora, vamos integrar termo a termo:
Vamos resolver cada uma dessas integrais separadamente.

Passo 4

Para a primeira integral:

Passo 5

Para a segunda integral, usamos a identidade :

Passo 6

Para a terceira integral, , novamente usamos a identidade:
Então:
Note que estamos de volta à integral original, o que sugere que precisamos de outra abordagem, como integração por partes.

Passo 7

Vamos usar a integração por partes para . Seja:
Aplicando a fórmula de integração por partes, $ \int u , dv = uv - \int v , du $:
Simplificando:

Passo 8

Novamente, usamos a identidade :
Agora, rearranjando os termos:
Isolando a integral:
Portanto:

Passo 9

Agora, aplicamos os limites de integração de a . Vamos calcular cada termo:
Para :
Para :
Substituindo:

Resposta

A integral vale .

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