Calcule as integrais abaixo
integral0^pi / 4 sec ^4 theta d theta

Passo 1

Beleza, vamos calcular a integral definida de sec^4 theta de 0 a pi4. Esse exercício está dentro do cálculo integral, mais especificamente lidando com integrais de funções trigonométricas. Para resolver isso, vamos usar técnicas de integração envolvendo identidades trigonométricas e integração por partes.

Passo 2

Primeiro, lembramos que sec^4 theta pode ser reescrito usando uma identidade trigonométrica. Sabemos que:
sec^2 theta = 1 + tan^2 theta
Então, podemos expressar sec^4 theta como (sec^2 theta)^2:
sec^4 theta = (1 + tan^2 theta)^2 = 1 + 2tan^2 theta + tan^4 theta

Passo 3

Agora, vamos integrar termo a termo:
integral sec^4 theta dtheta = integral 1 , dtheta + 2 integral tan^2 theta , dtheta + integral tan^4 theta , dtheta
Vamos resolver cada uma dessas integrais separadamente.

Passo 4

Para a primeira integral:
integral 1 , dtheta = theta

Passo 5

Para a segunda integral, usamos a identidade tan^2 theta = sec^2 theta - 1:
2 integral tan^2 theta , dtheta = 2 integral (sec^2 theta - 1) , dtheta = 2 ( tan theta - theta )

Passo 6

Para a terceira integral, integral tan^4 theta , dtheta, novamente usamos a identidade:
tan^4 theta = (tan^2 theta)^2 = (sec^2 theta - 1)^2 = sec^4 theta - 2sec^2 theta + 1
Então:
integral tan^4 theta , dtheta = integral sec^4 theta , dtheta - 2 integral sec^2 theta , dtheta + integral 1 , dtheta
Note que estamos de volta à integral original, o que sugere que precisamos de outra abordagem, como integração por partes.

Passo 7

Vamos usar a integração por partes para integral sec^4 theta dtheta. Seja:
u = sec^2 theta Rightarrow du = 2sec^2 theta tan theta , dtheta
dv = sec^2 theta , dtheta Rightarrow v = tan theta
Aplicando a fórmula de integração por partes, $ \int u , dv = uv - \int v , du $:
integral u , dv = uv - integral v , du
Simplificando:
integral sec^4 theta dtheta = sec^2 theta tan theta - integral tan theta cdot 2sec^2 theta tan theta , dtheta

Passo 8

Novamente, usamos a identidade tan^2 theta = sec^2 theta - 1:
2 integral sec^2 theta (sec^2 theta - 1) , dtheta = 2 integral sec^4 theta , dtheta - 2 integral sec^2 theta , dtheta
Agora, rearranjando os termos:
integral sec^4 theta dtheta = sec^2 theta tan theta - 2 integral sec^4 theta dtheta + 2 tan theta
Isolando a integral:
3 integral sec^4 theta dtheta = sec^2 theta tan theta + 2 tan theta
Portanto:
integral sec^4 theta dtheta = 13 sec^2 theta tan theta + 23 tan theta + C

Passo 9

Agora, aplicamos os limites de integração de 0 a pi4. Vamos calcular cada termo:
Para theta = pi4:
sec^2 ( pi4 ) = 2
tan ( pi4 ) = 1
Para theta = 0:
sec^2 (0) = 1
tan(0) = 0
Substituindo:
[ 13 cdot 2 cdot 1 + 23 cdot 1 ] - [ 13 cdot 1 cdot 0 + 23 cdot 0 ] = 23 + 23 = 43

Resposta

A integral integral0^pi / 4 sec ^4 theta d theta vale 43.

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