Calcule as integrais abaixo
Passo 1
Beleza, vamos calcular a integral definida de
de
a
. Esse exercício está dentro do cálculo integral, mais especificamente lidando com integrais de funções trigonométricas. Para resolver isso, vamos usar técnicas de integração envolvendo identidades trigonométricas e integração por partes.
Passo 2
Primeiro, lembramos que
pode ser reescrito usando uma identidade trigonométrica. Sabemos que:
Então, podemos expressar
como
:
Passo 3
Agora, vamos integrar termo a termo:
Vamos resolver cada uma dessas integrais separadamente.
Passo 4
Para a primeira integral:
Passo 5
Para a segunda integral, usamos a identidade
:
Passo 6
Para a terceira integral,
, novamente usamos a identidade:
Então:
Note que estamos de volta à integral original, o que sugere que precisamos de outra abordagem, como integração por partes.
Passo 7
Vamos usar a integração por partes para
. Seja:
Aplicando a fórmula de integração por partes, $ \int u , dv = uv - \int v , du $:
Simplificando:
Passo 8
Novamente, usamos a identidade
:
Agora, rearranjando os termos:
Isolando a integral:
Portanto:
Passo 9
Agora, aplicamos os limites de integração de
a
. Vamos calcular cada termo:
Para
:
Para
:
Substituindo:
Resposta
A integral
vale
.