Use o Lema Fundamental e mostre que a função
é diferenciável no domínio indicado.
(b)
(b)
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente usar o Lema Fundamental para mostrar que a função
é diferenciável no domínio
. Isso envolve conceitos de cálculo multivariável, especificamente sobre diferenciabilidade de funções de duas variáveis. Para resolver, vamos precisar entender o que é diferenciabilidade, calcular as derivadas parciais da função e verificar se elas são contínuas no domínio dado.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa uma função ser diferenciável. Uma função
é diferenciável em um ponto se ela pode ser aproximada por um plano tangente naquele ponto. Isso acontece se as derivadas parciais de
existem e são contínuas perto desse ponto.
Passo 3
Agora, vamos calcular as derivadas parciais de
em relação a
e
.
A derivada parcial em relação a
é:
E a derivada parcial em relação a
é:
Passo 4
Em seguida, precisamos verificar se essas derivadas parciais são contínuas no domínio
. Observamos que no denominador
nunca é zero no domínio
, pois excluímos o ponto
. Portanto, as expressões para
e
são contínuas em todo o domínio
.
Passo 5
Como as derivadas parciais de
existem e são contínuas em
, pelo Lema Fundamental, podemos concluir que a função
é diferenciável em todo o domínio
.
Resposta
A função
é diferenciável no domínio
.