Encontre o termo geral da sequência de somas parciais de cada uma das séries abaixo. A seguir, determine se a série converge ou diverge, obtendo o valor de sua soma, se possível.
(e)
(e)
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você me pediu para encontrar o termo geral da sequência das somas parciais da série
, além de verificar se essa série converge ou diverge e, se possível, descobrir o valor da soma. A gente vai precisar entender um pouco sobre séries geométricas e como calcular suas somas parciais.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma soma parcial de uma série. Basicamente, é a soma dos primeiros
termos de uma série. No nosso caso, queremos a soma dos primeiros
termos da série
.
Passo 3
Vamos identificar o termo geral da série. Olhando para
, podemos reescrever isso como:
Mas para facilitar, podemos reescrever o índice para começar em
. Fazendo isso, temos:
Assim, o termo geral da nossa série é:
Passo 4
Agora, vamos encontrar a soma das somas parciais, ou seja, a soma dos primeiros
termos dessa série. Como identificamos que é uma série geométrica com razão
, podemos usar a fórmula da soma dos
primeiros termos de uma série geométrica:
Onde:
-
é o primeiro termo da série. -
é a razão da série.
Passo 5
Primeiro, vamos identificar
. Quando
:
Agora, aplicando na fórmula da soma:
Simplificando:
Então, o termo geral da sequência das somas parciais é:
Passo 6
Agora, vamos verificar se a série converge ou diverge. Para uma série geométrica
, ela converge se
e diverge se
.
No nosso caso, a razão
, e
. Portanto, a série converge.
Passo 7
Como a série converge, podemos encontrar a soma infinita usando a fórmula da soma de uma série geométrica infinita:
Usando
e
:
Resposta
O termo geral da sequência das somas parciais é
. A série converge e a soma infinita é
.