Encontre o termo geral da sequência de somas parciais de cada uma das séries abaixo. A seguir, determine se a série converge ou diverge, obtendo o valor de sua soma, se possível.
(e) sumn=1^infty 2^n-15^n

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você me pediu para encontrar o termo geral da sequência das somas parciais da série , além de verificar se essa série converge ou diverge e, se possível, descobrir o valor da soma. A gente vai precisar entender um pouco sobre séries geométricas e como calcular suas somas parciais.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma soma parcial de uma série. Basicamente, é a soma dos primeiros termos de uma série. No nosso caso, queremos a soma dos primeiros termos da série .

Passo 3

Vamos identificar o termo geral da série. Olhando para 2^n-15^n = 12 cdot (25)^n , podemos reescrever isso como:
2^n-15^n = 2^(n+1)-15^n+1 = 2^n5^n+1 = 2^n5 cdot 5^n = 15 (25)^n
Mas para facilitar, podemos reescrever o índice para começar em an = 15 (25)^n . Fazendo isso, temos:
Assim, o termo geral da nossa série é:

Passo 4

Agora, vamos encontrar a soma das somas parciais, ou seja, a soma dos primeiros Sn = a1 1 - r^n1 - r termos dessa série. Como identificamos que é uma série geométrica com razão , podemos usar a fórmula da soma dos primeiros termos de uma série geométrica:
Onde:
  • é o primeiro termo da série.
  • é a razão da série.

Passo 5

Primeiro, vamos identificar a1 = 15 (25)^1 = 225 . Quando Sn = 225 cdot 1 - (25)^n1 - 25 = 225 cdot 1 - (25)^n35 = 225 cdot 53 (1 - (25)^n) :
Sn = 215 (1 - (25)^n)
Agora, aplicando na fórmula da soma:
Sn = 215 (1 - (25)^n)
Simplificando:
Então, o termo geral da sequência das somas parciais é:

Passo 6

Agora, vamos verificar se a série converge ou diverge. Para uma série geométrica , ela converge se e diverge se .
No nosso caso, a razão , e . Portanto, a série converge.

Passo 7

Como a série converge, podemos encontrar a soma infinita usando a fórmula da soma de uma série geométrica infinita:
S = a11 - r
Usando S = 2251 - 25 = 22535 = 225 cdot 53 = 215 e :

Resposta

O termo geral da sequência das somas parciais é . A série converge e a soma infinita é .

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