Calcule a dimensão dos espaços vetoriais descritos abaixo (com justificativa).
(b)
matrizes de ordem
como
-espaço vetorial.
(b)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular a dimensão do espaço vetorial das matrizes de ordem
sobre os números complexos, ou seja,
. Para isso, vamos precisar entender o que é um espaço vetorial e como determinar sua dimensão.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que um espaço vetorial é um conjunto de objetos que podemos somar e multiplicar por escalar, seguindo certas regras. No nosso caso, estamos lidando com matrizes, que podem ser somadas e multiplicadas por números complexos.
Passo 3
A dimensão de um espaço vetorial é o número de vetores que formam a base desse espaço, ou seja, o número mínimo de vetores necessários para gerar todo o espaço através de combinações lineares. Para matrizes, cada elemento da matriz pode ser considerado como um vetor no espaço.
Passo 4
Vamos ver quantos elementos há em uma matriz
. Cada matriz tem 3 linhas e 4 colunas, então ela possui
elementos. Cada um desses elementos é um número complexo que pode variar independentemente dos outros.
Passo 5
Como cada elemento da matriz é independente e pode variar livremente, a dimensão do espaço
é igual ao número total de elementos na matriz.
Resposta
A dimensão de
é
.
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Mostre que os poliômios
e
são L.I.
Ex. 4. Simplifique as expressões algébricas fracionárias abaixo:
(k) ;
(k)
Calcule a dimensão dos espaços vetoriais descritos abaixo (com justificativa).
(g) .
(g)
Seja
a transformação linear definida por
Esta transformação linear é injetora? Justifique sua resposta.