Calcule a dimensão dos espaços vetoriais descritos abaixo (com justificativa).
(g) U=(x, y) in R^2: y=x+1 subset R^2.

Passo 1

Beleza, vamos começar! A questão pede para calcular a dimensão do espaço vetorial . Para isso, precisamos entender o que é dimensão de um espaço vetorial e verificar se realmente forma um espaço vetorial dentro de .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que para um conjunto ser considerado um espaço vetorial, ele precisa cumprir algumas condições básicas, como conter o vetor zero, ser fechado em relação à adição de vetores e à multiplicação por escalar. Vamos verificar se atende a essas condições.

Passo 3

Vamos ver se o vetor zero está em 0 = 0 + 1 Rightarrow 0 = 1 . O vetor zero em é . Substituindo na equação , temos:
Isso é falso, ou seja, não pertence a .

Passo 4

Como o vetor zero não está em , já sabemos que não é um espaço vetorial. Isso significa que não podemos falar em dimensão para no contexto de espaços vetoriais, já que ele não satisfaz os requisitos necessários.

Resposta

O conjunto não é um espaço vetorial de , pois não contém o vetor zero. Portanto, sua dimensão como espaço vetorial não está definida.

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