Esta transformação linear é injetora? Justifique sua resposta.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente descobrir se uma transformação linear que leva vetores de para é injetora. Para resolver isso, precisamos entender o que significa uma transformação ser injetora e como verificar isso usando as ferramentas de álgebra linear.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é uma transformação injetora. Uma transformação linear é dita injetora se vetores diferentes em chegam a lugares diferentes em . Em outras palavras, se implica que , então é injetora.
Passo 3
Outra forma de pensar nisso é olhar para o núcleo (ou kernel) da transformação. O núcleo de , denotado por , é o conjunto de todos os vetores em que são mapeados para o vetor zero em , ou seja, .
Para ser injetora, o núcleo deve conter apenas o vetor zero. Se existir algum vetor diferente de zero que também é mapeado para zero, então não é injetora.
Passo 4
Vamos aplicar isso ao nosso caso. A transformação é dada por:
Queremos encontrar todos os vetores que satisfazem . Isso nos dá o seguinte sistema de equações:
Nosso objetivo é resolver esse sistema e ver se a única solução é .
Passo 5
Vamos resolver o sistema passo a passo. Começamos com as duas primeiras equações:
4x + y - 2z - 3t = 0 (1) 2x + y + z - 4t = 0 (2)
Vamos subtrair a equação (2) da equação (1) para eliminar (4x + y - 2z - 3t) - (2x + y + z - 4t) = 0 - 0 2x - 3z + t = 0 (4) :
Passo 6
Agora, vamos usar a terceira equação do sistema original:
6x - 9y + 9z = 0 (3)
Podemos simplificar essa equação dividindo todos os termos por 3:
2x - 3y + 3z = 0 (5)
Passo 7
Agora, temos as equações (4) e (5):
2x - 3z + t = 0 (4) 2x - 3y + 3z = 0 (5)
Podemos subtrair a equação (4) da equação (5) para eliminar (2x - 3y + 3z) - (2x - 3z + t) = 0 - 0 -3y + 6z - t = 0 (6) :
Passo 8
Agora, temos um sistema menor com as equações (4) e (6):
2x - 3z + t = 0 (4) -3y + 6z - t = 0 (6)
Podemos resolver a equação (6) para t = -3y + 6z (7) :
2x - 3z + (-3y + 6z) = 0 2x - 3y + 3z = 0 (8)
Substituímos na equação (4):
Passo 9
Agora, observamos que a equação (8) é uma equação linear com três variáveis . Isso significa que temos infinitas soluções para , o que implica que existem vetores diferentes de zero que satisfazem . Portanto, o núcleo de não contém apenas o vetor zero.
Resposta
Não, a transformação linear não é injetora, pois existem vetores diferentes de zero que são mapeados para o vetor zero.