Calcule a dimensão dos espaços vetoriais descritos abaixo (com justificativa).
© M3 times 4(C) matrizes de ordem 3 times 4 como R-espaço vetorial.

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para calcular a dimensão do espaço vetorial das matrizes , ou seja, matrizes de ordem com entradas complexas, considerando esse espaço como um espaço vetorial sobre os números reais ( ). Para isso, precisamos entender como as dimensões funcionam quando mudamos o campo de escala de para .

Passo 2

Primeiro, sabemos que uma matriz com entradas complexas tem entradas. Cada entrada é um número complexo, que na verdade pode ser representado por dois números reais (a parte real e a parte imaginária).

Passo 3

Então, cada entrada complexa contribui com 2 dimensões no espaço real. Portanto, para cada uma das 12 entradas, temos 2 dimensões, totalizando dimensões no espaço vetorial sobre .

Resposta

A dimensão do espaço vetorial como espaço sobre é 24.

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Encontre a medida da projeção ortogonal do vetor u=i+j-k na direção do vetor v=i+2 j+2 k.
Seja U subset R^3 times 3 o subespaço vetorial das matrizes diagonais. Considere a transformação linear T: P2(R) U definida por
T(a+b x+c x^2)=[ccc a-b+2 c & 0 & 0 0 & 2 a+b & 0 0 & 0 & -a-2 b+2 c ]
Esta transformação linear é injetora? Justifique sua resposta.
Seja alpha=(1,0,0,1),(2,0,1,0),(4,5,6,2),(1,5,5,1) e seja V o subespaço gerado por alpha.
(a) Determine uma base de V obtida a partir dos elementos de alpha.
(b) Verifique se o vetor u=(2,0,2,2) pertence a V.
Ex. 3. Verifique as seguintes identidades:
(d) (x-y)(x^2+x y+y^2)=x^3-y^3 ;