Encontre a medida da projeção ortogonal do vetor u=i+j-k na direção do vetor v=i+2 j+2 k.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que está na área de Álgebra Linear, especificamente sobre projeção de vetores. A gente precisa encontrar a medida da projeção ortogonal do vetor u = i + j - k na direção do vetor v = i + 2j + 2k. Para isso, vamos usar a fórmula da projeção que envolve o produto escalar e o módulo dos vetores.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o produto escalar entre os vetores u e v. O produto escalar é dado por:
u cdot v = (1)(1) + (1)(2) + (-1)(2)
Fazendo as contas:
u cdot v = 1 + 2 - 2 = 1

Passo 3

Agora, precisamos achar o módulo do vetor v. O módulo de um vetor v = ai + bj + ck é calculado por:
|v| = raiza^2 + b^2 + c^2
Aplicando ao nosso vetor:
|v| = raiz1^2 + 2^2 + 2^2 = raiz1 + 4 + 4 = raiz9 = 3

Passo 4

Com o produto escalar e o módulo de v calculados, podemos encontrar a medida da projeção ortogonal usando a fórmula:
Projv u = u cdot v|v|
Substituindo os valores:
Projv u = 13

Resposta

A medida da projeção ortogonal é dfrac13.

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