Ex. 3. Verifique as seguintes identidades:
(d) (x-y)(x^2+x y+y^2)=x^3-y^3 ;

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma identidade algébrica para verificar: . O conteúdo aqui envolve a fatoração de polinômios, especificamente a fatoração da diferença de cubos. Para resolver isso, vamos expandir o lado esquerdo da equação e ver se ele realmente resulta em .

Passo 2

Vamos começar expandindo o produto . Isso significa que vamos multiplicar cada termo de por cada termo de .

Passo 3

Primeiro, multiplicamos x cdot x^2 = x^3 por cada termo dentro do segundo parêntese:
x cdot xy = x^2y
x cdot y^2 = xy^2

Passo 4

Em seguida, multiplicamos -y cdot x^2 = -x^2y por cada termo dentro do segundo parêntese:
-y cdot xy = -xy^2
-y cdot y^2 = -y^3

Passo 5

Agora, vamos somar todos os termos que obtivemos:
x^3 + x^2y + xy^2 - x^2y - xy^2 - y^3

Passo 6

Observamos que os termos x^3 - y^3 e se cancelam, assim como os termos e . Portanto, sobra apenas:

Resposta

Após a expansão e simplificação, confirmamos que .

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