Seja alpha=(1,0,0,1),(2,0,1,0),(4,5,6,2),(1,5,5,1) e seja V o subespaço gerado por alpha.
(a) Determine uma base de V obtida a partir dos elementos de alpha.
(b) Verifique se o vetor u=(2,0,2,2) pertence a V.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. Temos um conjunto de vetores alpha = (1,0,0,1), (2,0,1,0), (4,5,6,2), (1,5,5,1) e um subespaço V que é gerado por esses vetores. A gente precisa fazer duas coisas:
a) Encontrar uma base para V usando os vetores de alpha.
b) Verificar se o vetor u = (2,0,2,2) está dentro de V.
Pra resolver isso, vamos usar conceitos de combinação linear, independência linear e sistemas lineares.

Passo 2

Vamos começar com a parte (a). Precisamos verificar quais desses vetores são independentes e podem formar uma base para V. Se todos forem independentes, eles já formam a base. Caso contrário, a gente remove os que são dependentes.

Passo 3

Primeiro, vamos colocar os vetores de alpha como colunas em uma matriz e fazer uma redução por linhas para verificar a independência linear.
1 & 2 & 4 & 1 0 & 0 & 5 & 5 0 & 1 & 6 & 5 1 & 0 & 2 & 1

Passo 4

Aplicando a eliminação de Gauss, vamos zerar abaixo e acima dos pivôs para chegar na forma escalonada reduzida.
Após algumas operações, a matriz fica assim:
1 & 2 & 4 & 1 0 & 1 & 6 & 5 0 & 0 & 5 & 5 0 & 0 & 0 & 0

Passo 5

Observamos que a quarta linha ficou toda zero, o que indica que um dos vetores é combinação linear dos outros. Portanto, os três primeiros vetores são independentes e formam uma base para V.

Passo 6

Então, uma base para V é:
, (1,0,0,1),; (2,0,1,0),; (4,5,6,2) ,

Passo 7

Agora, vamos para a parte (b). Precisamos verificar se o vetor u = (2,0,2,2) está no subespaço V. Isso significa que devemos encontrar escalares a, b e c tais que:
a(1,0,0,1) + b(2,0,1,0) + c(4,5,6,2) = (2,0,2,2)

Passo 8

Isso gera o seguinte sistema de equações:
a + 2b + 4c = 2 0a + 0b + 5c = 0 0a + b + 6c = 2 a + 0b + 2c = 2

Passo 9

Vamos resolver o sistema:
Da segunda equação: 5c = 0 Rightarrow c = 0
Substituindo c = 0 na quarta equação: a = 2
Substituindo c = 0 na terceira equação: b = 2
Agora, verificando a primeira equação: 2 + 2(2) + 0 = 6 neq 2

Passo 10

Como não conseguimos satisfazer todas as equações simultaneamente, concluímos que o vetor u = (2,0,2,2) não pertence ao subespaço V.

Resposta

a) Uma base para V é , (1,0,0,1),; (2,0,1,0),; (4,5,6,2) ,.
b) O vetor u = (2,0,2,2) não pertence a V.

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