Seja e seja o subespaço gerado por .
(a) Determine uma base de obtida a partir dos elementos de .
(b) Verifique se o vetor pertence a .
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. Temos um conjunto de vetores e um subespaço que é gerado por esses vetores. A gente precisa fazer duas coisas:
a) Encontrar uma base para usando os vetores de .
b) Verificar se o vetor está dentro de .
Pra resolver isso, vamos usar conceitos de combinação linear, independência linear e sistemas lineares.
Passo 2
Vamos começar com a parte (a). Precisamos verificar quais desses vetores são independentes e podem formar uma base para . Se todos forem independentes, eles já formam a base. Caso contrário, a gente remove os que são dependentes.
Passo 3
Primeiro, vamos colocar os vetores de como colunas em uma matriz e fazer uma redução por linhas para verificar a independência linear.
Passo 4
Aplicando a eliminação de Gauss, vamos zerar abaixo e acima dos pivôs para chegar na forma escalonada reduzida.
Observamos que a quarta linha ficou toda zero, o que indica que um dos vetores é combinação linear dos outros. Portanto, os três primeiros vetores são independentes e formam uma base para V.
Passo 6
Então, uma base para V é:
, (1,0,0,1),; (2,0,1,0),; (4,5,6,2) ,
Passo 7
Agora, vamos para a parte (b). Precisamos verificar se o vetor u = (2,0,2,2) está no subespaço V. Isso significa que devemos encontrar escalares a, b e c tais que:
a(1,0,0,1) + b(2,0,1,0) + c(4,5,6,2) = (2,0,2,2)
Passo 8
Isso gera o seguinte sistema de equações:
a + 2b + 4c = 2 0a + 0b + 5c = 0 0a + b + 6c = 2 a + 0b + 2c = 2
Passo 9
Vamos resolver o sistema:
Da segunda equação: 5c = 0 Rightarrow c = 0
Substituindo c = 0 na quarta equação: a = 2
Substituindo c = 0 na terceira equação: b = 2
Agora, verificando a primeira equação: 2 + 2(2) + 0 = 6 neq 2
Passo 10
Como não conseguimos satisfazer todas as equações simultaneamente, concluímos que o vetor u = (2,0,2,2)não pertence ao subespaço V.
Resposta
a) Uma base para V é , (1,0,0,1),; (2,0,1,0),; (4,5,6,2) ,.
b) O vetor u = (2,0,2,2) não pertence a V.