Seja o subespaço vetorial das matrizes diagonais. Considere a transformação linear definida por
Esta transformação linear é injetora? Justifique sua resposta.
Passo 1
Beleza, vamos analisar o problema juntos! Temos um subespaço que consiste nas matrizes diagonais de . A transformação linear mapeia polinômios de segundo grau para essas matrizes diagonais. Nosso objetivo é descobrir se é injetora, ou seja, se cada polinômio diferente leva a uma matriz diferente.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa uma transformação linear ser injetora. Uma transformação é injetora se, sempre que , então . Em termos mais simples, nenhum elemento distinto no domínio mapeia para o mesmo elemento no contradomínio. Para verificar isso, precisamos ver se o núcleo (conjunto de polinômios que são mapeados para a matriz zero) contém apenas o polinômio zero.
Passo 3
Vamos encontrar o núcleo de T(a + b x + c x^2) = a - b + 2c & 0 & 0 0 & 2a + b & 0 0 & 0 & -a - 2b + 2c = 0 & 0 & 0 0 & 0 & 0 0 & 0 & 0 . Ou seja, queremos encontrar todos os polinômios tais que seja a matriz zero:
Passo 4
Isso nos dá o seguinte sistema de equações:
a - b + 2c = 0 2a + b = 0 -a - 2b + 2c = 0
Vamos resolver esse sistema para encontrar os valores de , e .
Passo 5
Da segunda equação: a - (-2a) + 2c = 0 implies a + 2a + 2c = 0 implies 3a + 2c = 0 implies 2c = -3a implies c = -32a => .
Substituindo na primeira equação:
Passo 6
Agora, substituímos -a - 2(-2a) + 2(-32a) = 0 implies -a + 4a - 3a = 0 implies 0 = 0 e na terceira equação:
Isso significa que qualquer valor de satisfaz as equações, desde que e .
Passo 7
Portanto, o núcleo de p(x) = a - 2a x - 32a x^2 = a (1 - 2x - 32x^2) não contém apenas o polinômio zero, mas sim todos os polinômios da forma:
Isso significa que existem infinitos polinômios diferentes que são mapeados para a matriz zero.
Resposta
Não, a transformação não é injetora, pois seu núcleo contém polinômios distintos de zero.