Seja U subset R^3 times 3 o subespaço vetorial das matrizes diagonais. Considere a transformação linear T: P2(R) U definida por
T(a+b x+c x^2)=[ccc a-b+2 c & 0 & 0 0 & 2 a+b & 0 0 & 0 & -a-2 b+2 c ]
Esta transformação linear é injetora? Justifique sua resposta.

Passo 1

Beleza, vamos analisar o problema juntos! Temos um subespaço que consiste nas matrizes diagonais de . A transformação linear mapeia polinômios de segundo grau para essas matrizes diagonais. Nosso objetivo é descobrir se é injetora, ou seja, se cada polinômio diferente leva a uma matriz diferente.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa uma transformação linear ser injetora. Uma transformação é injetora se, sempre que , então . Em termos mais simples, nenhum elemento distinto no domínio mapeia para o mesmo elemento no contradomínio. Para verificar isso, precisamos ver se o núcleo (conjunto de polinômios que são mapeados para a matriz zero) contém apenas o polinômio zero.

Passo 3

Vamos encontrar o núcleo de T(a + b x + c x^2) = a - b + 2c & 0 & 0 0 & 2a + b & 0 0 & 0 & -a - 2b + 2c = 0 & 0 & 0 0 & 0 & 0 0 & 0 & 0 . Ou seja, queremos encontrar todos os polinômios tais que seja a matriz zero:

Passo 4

Isso nos dá o seguinte sistema de equações:
a - b + 2c = 0 2a + b = 0 -a - 2b + 2c = 0
Vamos resolver esse sistema para encontrar os valores de , e .

Passo 5

Da segunda equação: a - (-2a) + 2c = 0 implies a + 2a + 2c = 0 implies 3a + 2c = 0 implies 2c = -3a implies c = -32a => .
Substituindo na primeira equação:

Passo 6

Agora, substituímos -a - 2(-2a) + 2(-32a) = 0 implies -a + 4a - 3a = 0 implies 0 = 0 e na terceira equação:
Isso significa que qualquer valor de satisfaz as equações, desde que e .

Passo 7

Portanto, o núcleo de p(x) = a - 2a x - 32a x^2 = a (1 - 2x - 32x^2) não contém apenas o polinômio zero, mas sim todos os polinômios da forma:
Isso significa que existem infinitos polinômios diferentes que são mapeados para a matriz zero.

Resposta

Não, a transformação não é injetora, pois seu núcleo contém polinômios distintos de zero.

Exercícios relacionados

Considere o subconjunto de R^3
U=(x, y, z) in R^3: 2 x+5 y-3 z=0
Responda com justificativa.
© Ache um vetor u em U, mas que não esteja na reta SpanRv (que passa por v e 0 ).
Seja T: R^3 R^3 uma transformação linear dada pela matriz A=(ccc2 & 3 & 1 3 & 5 & 1 -2 & -4 & 0).
(a) T é injetora? Justifique. Caso T não seja injetora, determine um elemento não nulo no espaço nulo da matriz A.
(b) T é sobrejetora? Justifique. Caso T não seja sobrejetora, determine um elemento em R^3 backslash Im(T).
Encontre a medida da projeção ortogonal do vetor u=i+j-k na direção do vetor v=i+2 j+2 k.
Calcule a dimensão dos espaços vetoriais descritos abaixo (com justificativa).
© M3 times 4(C) matrizes de ordem 3 times 4 como R-espaço vetorial.