Calcule a dimensão dos espaços vetoriais descritos abaixo (com justificativa).
(f) O conjunto formado pelos polinômio em
de grau menor ou igual que
.
(f) O conjunto formado pelos polinômio em
Passo 1
Vamos entender o que o problema está pedindo. Temos um conjunto formado por todos os polinômios em
que possuem grau menor ou igual a
. Nosso objetivo é descobrir a dimensão desse espaço vetorial. Para isso, vamos precisar entender conceitos de espaços vetoriais, bases e como determinar a dimensão a partir da base.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que um espaço vetorial é um conjunto de vetores onde podemos fazer combinações lineares entre eles. A dimensão do espaço vetorial é o número de vetores na base desse espaço, ou seja, o número mínimo de vetores necessários para gerar todo o espaço através de combinações lineares.
Passo 3
No caso dos polinômios de grau menor ou igual a
, uma base comum é o conjunto dos monômios
. Isso porque qualquer polinômio de grau
ou menor pode ser escrito como uma combinação linear desses monômios. Por exemplo, um polinômio
é uma combinação linear dos monômios da base.
Passo 4
Agora, contamos quantos vetores existem nessa base. Temos
(que é
),
,
, até
. Ao todo, são
vetores na base.
Resposta
A dimensão do espaço vetorial formado pelos polinômios em
de grau menor ou igual a
é
.