Calcule a dimensão dos espaços vetoriais descritos abaixo (com justificativa).
(f) O conjunto formado pelos polinômio em k[x]𝕜 de grau menor ou igual que n.

Passo 1

Vamos entender o que o problema está pedindo. Temos um conjunto formado por todos os polinômios em k[x]𝕜 que possuem grau menor ou igual a n. Nosso objetivo é descobrir a dimensão desse espaço vetorial. Para isso, vamos precisar entender conceitos de espaços vetoriais, bases e como determinar a dimensão a partir da base.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que um espaço vetorial é um conjunto de vetores onde podemos fazer combinações lineares entre eles. A dimensão do espaço vetorial é o número de vetores na base desse espaço, ou seja, o número mínimo de vetores necessários para gerar todo o espaço através de combinações lineares.

Passo 3

No caso dos polinômios de grau menor ou igual a n, uma base comum é o conjunto dos monômios 1, x, x^2, dots, x^n. Isso porque qualquer polinômio de grau n ou menor pode ser escrito como uma combinação linear desses monômios. Por exemplo, um polinômio p(x) = a0 + a1x + a2x^2 + dots + anx^n é uma combinação linear dos monômios da base.

Passo 4

Agora, contamos quantos vetores existem nessa base. Temos 1 (que é x^0), x^1, x^2, até x^n. Ao todo, são n + 1 vetores na base.

Resposta

A dimensão do espaço vetorial formado pelos polinômios em k[x]𝕜 de grau menor ou igual a n é n + 1.

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