Ex. 3. Verifique as seguintes identidades:
(g) (x^2-x+1)(x^2+x+1)=x^4+x^2+1;

Passo 1

Beleza, vamos resolver a identidade algébrica que a gente recebeu:
(x^2-x+1)(x^2+x+1)=x^4+x^2+1
Aqui, estamos trabalhando com identidades algébricas, que são igualdades verdadeiras para todos os valores das variáveis envolvidas. Para verificar se essa identidade é verdadeira, a gente precisa multiplicar os dois polinômios da esquerda e ver se o resultado bate com o da direita. Vamos usar a distribuição (também conhecida como propriedade distributiva) para multiplicar os termos dos polinômios.

Passo 2

Primeiro, vamos multiplicar cada termo do primeiro polinômio (x^2 cdot x^2) + (x^2 cdot x) + (x^2 cdot 1) - (x cdot x^2) - (x cdot x) - (x cdot 1) + (1 cdot x^2) + (1 cdot x) + (1 cdot 1) por cada termo do segundo polinômio . Isso significa que teremos:

Passo 3

Agora, vamos calcular cada multiplicação:
x^2 cdot x^2 = x^4
x^2 cdot x = x^3
x^2 cdot 1 = x^2
-x cdot x^2 = -x^3
-x cdot x = -x^2
-x cdot 1 = -x
1 cdot x^2 = x^2
1 cdot x = x
1 cdot 1 = 1

Passo 4

Vamos juntar tudo isso:
x^4 + x^3 + x^2 - x^3 - x^2 - x + x^2 + x + 1

Passo 5

Agora, vamos simplificar combinando os termos semelhantes:
  • x^4 + x^2 + 1 fica sozinho.
  • (eles se cancelam)
  • (também se cancelam)
  • O termo fica sozinho.
Então, sobrando:

Resposta

A identidade está correta, porque após multiplicar os polinômios da esquerda, o resultado é igual a , conforme mostrado.

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Obtenha uma base para Im(T).