Seja U subset R^3 times 3 o subespaço vetorial das matrizes diagonais. Considere a transformação linear T: P2(R) U definida por
T(a+b x+c x^2)=[ccc a-b+2 c & 0 & 0 0 & 2 a+b & 0 0 & 0 & -a-2 b+2 c ]
Obtenha uma base para Im(T).

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um subespaço das matrizes diagonais e uma transformação linear que leva polinômios de grau até 2 em . O objetivo é encontrar uma base para a imagem de , ou seja, descobrir quais matrizes diagonais podem ser obtidas aplicando a qualquer polinômio de segundo grau.
Conteúdo da Matéria: Transformações lineares, imagem de uma transformação e bases de subespaços vetoriais.
O que precisamos: Conhecer o que é uma transformação linear, como determinar a imagem de uma transformação e como encontrar uma base para esse conjunto de vetores (no caso, matrizes).

Passo 2

Primeiro, vamos entender como a transformação T(p(x)) = T(a + b x + c x^2) = a - b + 2c & 0 & 0 0 & 2a + b & 0 0 & 0 & -a - 2b + 2c age sobre um polinômio genérico de segundo grau. Seja , onde . Aplicando a , temos:
Essa matriz resultante é diagonal, como esperado, já que é o conjunto das matrizes diagonais.

Passo 3

Para encontrar a imagem de T(1) = 1 - 0 + 0 & 0 & 0 0 & 2(1) + 0 & 0 0 & 0 & -1 - 0 + 0 = 1 & 0 & 0 0 & 2 & 0 0 & 0 & -1 ( T(x) = 0 - 1 + 0 & 0 & 0 0 & 2(0) + 1 & 0 0 & 0 & -0 - 2(1) + 0 = -1 & 0 & 0 0 & 1 & 0 0 & 0 & -2 ), precisamos determinar todas as matrizes que podem ser obtidas aplicando T(x^2) = 0 - 0 + 2(1) & 0 & 0 0 & 2(0) + 0 & 0 0 & 0 & -0 - 0 + 2(1) = 2 & 0 & 0 0 & 0 & 0 0 & 0 & 2 a diferentes polinômios . Podemos fazer isso encontrando as imagens dos polinômios da base de , que são , e .
Vamos calcular , e :
  1. Para ( ):

[
T(1) =


]
  1. Para ( ):

[
T(x) =


]
  1. Para ( ):

[
T(x^2) =


]

Passo 4

Agora, temos três matrizes na imagem de A = 1 & 0 & 0 0 & 2 & 0 0 & 0 & -1 , B = -1 & 0 & 0 0 & 1 & 0 0 & 0 & -2 , C = 2 & 0 & 0 0 & 0 & 0 0 & 0 & 2 :
Queremos verificar se essas matrizes são linearmente independentes e, assim, determinarmos uma base para .

Passo 5

Para verificar a independência linear, assumimos que existe uma combinação linear dessas matrizes que resulta na matriz zero:
k1 A + k2 B + k3 C = 0
Isso significa:
k1 1 & 0 & 0 0 & 2 & 0 0 & 0 & -1 + k2 -1 & 0 & 0 0 & 1 & 0 0 & 0 & -2 + k3 2 & 0 & 0 0 & 0 & 0 0 & 0 & 2 = 0 & 0 & 0 0 & 0 & 0 0 & 0 & 0
Isso resulta em um sistema de equações para cada posição da matriz:
  1. Primeira linha, primeira coluna:
k1 (1) + k2 (-1) + k3 (2) = 0 Rightarrow k1 - k2 + 2k3 = 0
  1. Segunda linha, segunda coluna:
k1 (2) + k2 (1) + k3 (0) = 0 Rightarrow 2k1 + k2 = 0
  1. Terceira linha, terceira coluna:
k1 (-1) + k2 (-2) + k3 (2) = 0 Rightarrow -k1 - 2k2 + 2k3 = 0

Passo 6

Vamos resolver o sistema de equações:
  1. 2k1 + k2 = 0 Rightarrow k2 = -2k1  (Equação 1)
  2. k1 - (-2k1) + 2k3 = 0 Rightarrow k1 + 2k1 + 2k3 = 0 Rightarrow 3k1 + 2k3 = 0     (Equação 2)
  3. -k1 - 2(-2k1) + 2k3 = 0 Rightarrow -k1 + 4k1 + 2k3 = 0 Rightarrow 3k1 + 2k3 = 0  (Equação 3)
Primeiro, da Equação 2, expressamos 3k1 + 2t = 0 Rightarrow k1 = -23t em função de k2 = -2k1 = -2(-23t) = 43t :
Substituímos na Equação 1:
Da Equação 3, substituímos :
Observamos que as Equações 1 e 3 reduzem-se à mesma equação . Isso significa que e estão relacionados, mas ainda temos liberdade para escolher um valor para um deles.
Vamos escolher , onde é um parâmetro real. Então:
Assim, todos os são múltiplos de . Isso indica que as matrizes , e são linearmente dependentes.

Passo 7

Como as três matrizes alpha A + beta B = 0 , alpha 1 & 0 & 0 0 & 2 & 0 0 & 0 & -1 + beta -1 & 0 & 0 0 & 1 & 0 0 & 0 & -2 = 0 & 0 & 0 0 & 0 & 0 0 & 0 & 0 e 2alpha + alpha = 0 Rightarrow 3alpha = 0 Rightarrow alpha = 0 são linearmente dependentes, precisamos encontrar um subconjunto delas que seja linearmente independente para formar uma base para Rightarrow beta = 0 .
Vamos verificar se e são linearmente independentes.
Assumimos que existe e tais que:
Ou seja:
Isso resulta nas seguintes equações:
Da primeira equação, .
Substituindo na segunda equação:
Como a única solução é trivial ( ), as matrizes e são linearmente independentes.

Passo 8

Portanto, uma base para a imagem de 1 & 0 & 0 0 & 2 & 0 0 & 0 & -1 , -1 & 0 & 0 0 & 1 & 0 0 & 0 & -2 é formada pelas matrizes e :
Essas duas matrizes são suficientes para gerar qualquer matriz na imagem de através de combinações lineares.

Resposta

Uma base para 1 & 0 & 0 0 & 2 & 0 0 & 0 & -1 , -1 & 0 & 0 0 & 1 & 0 0 & 0 & -2 é o conjunto formado pelas matrizes

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