Calcule a dimensão dos subespaços:
[Dica: ]

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcularmos as dimensões dos subespaços , e . Isso está relacionado ao estudo de espaços vetoriais na Álgebra Linear, mais especificamente sobre como subespaços interagem entre si. Para resolver isso, vamos precisar entender as fórmulas de dimensão para soma e interseção de subespaços.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a dimensão da interseção . A interseção de dois subespaços e é o conjunto de vetores que pertencem a ambos os subespaços. A dimensão de é simplesmente o número de vetores em uma base que formam esse espaço comum.

Passo 3

Agora, vamos calcular a dimensão da soma . A soma de dois subespaços e é o conjunto de todos os vetores que podem ser escritos como a soma de um vetor de e um vetor de . Para encontrar a dimensão de , usamos a seguinte fórmula importante:

Passo 4

Com isso em mente, podemos reorganizar a fórmula para encontrar se necess��rio, mas como queremos as dimensões de e , podemos usá-la diretamente.

Passo 5

Por fim, vamos calcular a dimensão do quociente . O espaço quociente tem dimensão igual à diferença entre as dimensões de e , desde que . Mas, nesse caso, geralmente contém , então precisamos ter cuidado com a relação entre eles.
No entanto, pela dica fornecida:
Embora a dica pareça se referir a uma relação diferente, podemos adaptá-la para entender a dimensão do quociente que estamos lidando.

Resposta

Portanto, as dimensões solicitadas são:

Exercícios relacionados

(EXTRA) Se você NÃO tiver conseguido fazer a questão acima, classifique então a seguinte cônica
e determine, caso não seja degenerada, seus focos, vertices, centro, excentricidade, reta focal não focal.
Dados vetores , demonstre que se e somente se e são linearmente dependentes
Considere um plano
e dois pontos distintos . Demonstre que a (única) reta que passa por e está inteiramente contida em .
Calcule: e