(EXTRA) Se você NÃO tiver conseguido fazer a questão acima, classifique então a seguinte cônica
36 x^2+9 y^2-108 x+6 y+82=0
e determine, caso não seja degenerada, seus focos, vertices, centro, excentricidade, reta focal e não focal.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você me passou a seguinte equação de uma cônica:
36 x^2 + 9 y^2 - 108 x + 6 y + 82 = 0
O que precisamos fazer aqui é classificar essa cônica, ou seja, descobrir se é uma elipse, hipérbole, parábola, etc. Além disso, se não for uma cônica degenerada (que se “quebra” em formas mais simples), vamos encontrar seus focos, vértices, centro, excentricidade e a reta focal.
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de geometria analítica, principalmente sobre as formas canônicas das cônicas e como completar o quadrado para facilitar a identificação.

Passo 2

Primeiro, vamos reorganizar a equação para agrupar os termos de 36x^2 - 108x + 9y^2 + 6y = -82 e juntos. Ficando assim:

Passo 3

Agora, vamos completar o quadrado para os termos de 36x^2 - 108x = 36(x^2 - 3x) e x^2 - 3x = (x - 32)^2 - (32)^2 = (x - 32)^2 - 94 . Isso ajuda a transformar a equação na forma padrão da cônica.
Começando com os termos de 36(x - 32)^2 - 36 times 94 = 36(x - 32)^2 - 81 :
Fatoramos o coeficiente de :
Agora, completamos o quadrado dentro do parêntese:
Multiplicando de volta por 36:

Passo 4

Fazemos o mesmo para os termos de 9y^2 + 6y = 9(y^2 + 23y) :
Fatoramos o coeficiente de y^2 + 23y = (y + 13)^2 - (13)^2 = (y + 13)^2 - 19 :
9(y + 13)^2 - 9 times 19 = 9(y + 13)^2 - 1
Completando o quadrado:
Multiplicando de volta por 9:

Passo 5

Agora, substituímos essas expressões na equação original:
36(x - 32)^2 - 81 + 9(y + 13)^2 - 1 = -82
Simplificando os termos constantes:
36(x - 32)^2 + 9(y + 13)^2 - 82 = -82
Adicionando 82 aos dois lados:
36(x - 32)^2 + 9(y + 13)^2 = 0

Passo 6

Agora, dividimos toda a equação por 9 para simplificar:
4(x - 32)^2 + (y + 13)^2 = 0
Observe que uma soma de quadrados igual a zero só ocorre quando cada quadrado é zero. Isso indica que a cônica é degenerada, ou seja, não é uma elipse, hipérbole ou parábola regular.

Passo 7

Como a equação resultou em uma soma de quadrados igual a zero, concluímos que a cônica é degenerada e representa apenas um ponto:
(x - 32)^2 = 0 e (y + 13)^2 = 0
Portanto, o ponto é:
(32, -13)

Resposta

A cônica dada é degenerate, representando apenas o ponto .

Exercícios relacionados