(EXTRA) Se você NÃO tiver conseguido fazer a questão acima, classifique então a seguinte cônica
e determine, caso não seja degenerada, seus focos, vertices, centro, excentricidade, reta focal não focal.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você me passou a seguinte equação de uma cônica:
O que precisamos fazer aqui é classificar essa cônica, ou seja, descobrir se é uma elipse, hipérbole, parábola, etc. Além disso, se não for uma cônica degenerada (que se “quebra” em formas mais simples), vamos encontrar seus focos, vértices, centro, excentricidade e a reta focal.
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de geometria analítica, principalmente sobre as formas canônicas das cônicas e como completar o quadrado para facilitar a identificação.
Passo 2
Primeiro, vamos reorganizar a equação para agrupar os termos de e juntos. Ficando assim:
Passo 3
Agora, vamos completar o quadrado para os termos de e . Isso ajuda a transformar a equação na forma padrão da cônica.
Começando com os termos de :
Fatoramos o coeficiente de :
Agora, completamos o quadrado dentro do parêntese:
Multiplicando de volta por 36:
Passo 4
Fazemos o mesmo para os termos de :
Fatoramos o coeficiente de :
Completando o quadrado:
Multiplicando de volta por 9:
Passo 5
Agora, substituímos essas expressões na equação original:
Simplificando os termos constantes:
Adicionando 82 aos dois lados:
Passo 6
Agora, dividimos toda a equação por 9 para simplificar:
Observe que uma soma de quadrados igual a zero só ocorre quando cada quadrado é zero. Isso indica que a cônica é degenerada, ou seja, não é uma elipse, hipérbole ou parábola regular.
Passo 7
Como a equação resultou em uma soma de quadrados igual a zero, concluímos que a cônica é degenerada e representa apenas um ponto:
Portanto, o ponto é:
Resposta
A cônica dada é degenerate, representando apenas o ponto .