Dados vetores u, v in R^3, demonstre que u times v=0 se e somente se u e v são linearmente dependentes

Passo 1

Então, a gente tem dois vetores, u e v, que estão no espaço tridimensional R^3. O exercício pede para provar que o produto vetorial u times v é igual a zero se e somente se os vetores u e v são linearmente dependentes. Vamos usar conceitos de álgebra vetorial, como produto vetorial e dependência linear, para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o produto vetorial. Para dois vetores u = (u1, u2, u3) e v = (v1, v2, v3), o produto vetorial u times v é um novo vetor que é perpendicular aos dois vetores originais. Se o produto vetorial é zero, isso significa que os vetores não formam um paralelogramo com área, ou seja, estão na mesma direção.

Passo 3

Agora, vamos falar sobre dependência linear. Dois vetores são linearmente dependentes se um for múltiplo do outro. Ou seja, existe um escalar k tal que u = kv ou v = ku. Isso significa que os vetores estão na mesma direção ou são paralelos.

Passo 4

Vamos provar a primeira parte: se u times v = 0, então u e v são linearmente dependentes. Se o produto vetorial é zero, a área do paralelogramo formado por u e v é zero, o que só acontece se os vetores são paralelos, ou seja, são múltiplos um do outro. Portanto, são linearmente dependentes.

Passo 5

Agora, vamos provar a segunda parte: se u e v são linearmente dependentes, então u times v = 0. Se u e v são múltiplos um do outro, qualquer produto vetorial entre eles será zero porque eles estão na mesma direção, e não existe uma área no paralelogramo formado por vetores paralelos.

Resposta

Portanto, mostramos que u times v = 0 se e somente se u e v são linearmente dependentes.

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