Dados vetores , demonstre que se e somente se e são linearmente dependentes
Passo 1
Então, a gente tem dois vetores, e , que estão no espaço tridimensional . O exercício pede para provar que o produto vetorial é igual a zero se e somente se os vetores e são linearmente dependentes. Vamos usar conceitos de álgebra vetorial, como produto vetorial e dependência linear, para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o produto vetorial. Para dois vetores e , o produto vetorial é um novo vetor que é perpendicular aos dois vetores originais. Se o produto vetorial é zero, isso significa que os vetores não formam um paralelogramo com área, ou seja, estão na mesma direção.
Passo 3
Agora, vamos falar sobre dependência linear. Dois vetores são linearmente dependentes se um for múltiplo do outro. Ou seja, existe um escalar tal que ou . Isso significa que os vetores estão na mesma direção ou são paralelos.
Passo 4
Vamos provar a primeira parte: se , então e são linearmente dependentes. Se o produto vetorial é zero, a área do paralelogramo formado por e é zero, o que só acontece se os vetores são paralelos, ou seja, são múltiplos um do outro. Portanto, são linearmente dependentes.
Passo 5
Agora, vamos provar a segunda parte: se e são linearmente dependentes, então . Se e são múltiplos um do outro, qualquer produto vetorial entre eles será zero porque eles estão na mesma direção, e não existe uma área no paralelogramo formado por vetores paralelos.
Resposta
Portanto, mostramos que se e somente se e são linearmente dependentes.