Calcule as dimensões de um retângulo de área máxima inscrito em uma circunferência de raio 2.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente calcular as dimensões de um retângulo que tem a maior área possível e está inscrito em uma circunferência com raio 2. Vamos trabalhar com geometria e um pouco de cálculo para resolver isso. Precisaremos entender sobre áreas de formas geométricas e como otimizar funções usando derivadas.
Passo 2
Primeiro, imagine a circunferência com raio 2. O retângulo inscrito nessa circunferência terá seus quatro cantos tocando a circunferência. Vamos chamar as dimensões do retângulo de largura
e altura
. Por quê? Porque assim,
será um ponto no primeiro quadrante, e os outros pontos serão simétricos nos outros quadrantes.
Passo 3
Sabemos que os cantos do retângulo estão na circunferência, então eles satisfazem a equação da circunferência:
Como o raio
, a equação fica:
Isso nos dá uma relação entre
e
.
Passo 4
A área
do retângulo é dada por:
Queremos maximizar essa área.
Passo 5
Para maximizar
em função de uma variável, vamos expressar
somente em termos de
ou
. Vamos resolver a equação da circunferência para
:
Agora, substituímos isso na expressão da área:
Passo 6
Agora, temos uma função que depende de
, e queremos encontrar o valor de
que maximiza
. Para isso, vamos usar derivadas. Primeiro, vamos derivar
em relação a
:
Simplificando:
Passo 7
Para encontrar o máximo, igualamos a derivada a zero:
Multiplicando ambos os lados por
para eliminar o denominador:
Passo 8
Agora que encontramos
, podemos encontrar
usando a equação da circunferência:
Resposta
As dimensões do retângulo de área máxima inscrito na circunferência de raio 2 são
unidades de largura e
unidades de altura.
Exercícios relacionados
Determine as assíntotas horizontais e verticais do gráfico da função
Determine o valor máximo e mínimo de
na região do triângulo de vértices
e
.
Se
, calcule
,
Encontre os limites.