Calcule as dimensões de um retângulo de área máxima inscrito em uma circunferência de raio 2.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente calcular as dimensões de um retângulo que tem a maior área possível e está inscrito em uma circunferência com raio 2. Vamos trabalhar com geometria e um pouco de cálculo para resolver isso. Precisaremos entender sobre áreas de formas geométricas e como otimizar funções usando derivadas.

Passo 2

Primeiro, imagine a circunferência com raio 2. O retângulo inscrito nessa circunferência terá seus quatro cantos tocando a circunferência. Vamos chamar as dimensões do retângulo de largura e altura . Por quê? Porque assim, será um ponto no primeiro quadrante, e os outros pontos serão simétricos nos outros quadrantes.

Passo 3

Sabemos que os cantos do retângulo estão na circunferência, então eles satisfazem a equação da circunferência:
Como o raio , a equação fica:
Isso nos dá uma relação entre e .

Passo 4

A área do retângulo é dada por:
Queremos maximizar essa área.

Passo 5

Para maximizar em função de uma variável, vamos expressar somente em termos de ou . Vamos resolver a equação da circunferência para :
Agora, substituímos isso na expressão da área:

Passo 6

Agora, temos uma função que depende de , e queremos encontrar o valor de que maximiza . Para isso, vamos usar derivadas. Primeiro, vamos derivar em relação a :
Simplificando:

Passo 7

Para encontrar o máximo, igualamos a derivada a zero:
Multiplicando ambos os lados por para eliminar o denominador:

Passo 8

Agora que encontramos , podemos encontrar usando a equação da circunferência:

Resposta

As dimensões do retângulo de área máxima inscrito na circunferência de raio 2 são unidades de largura e unidades de altura.

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Se , calcule ,
Encontre os limites.