Se R=(x, y) mid-1 <= x <= 1,-2 <= y <= 2, calcule integral duplaR raiz1-x^2 d A,

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos pede para calcular a integral dupla de raiz1 - x^2 sobre a região R, que é o retângulo definido por -1 <= x <= 1 e -2 <= y <= 2. Aqui, estamos trabalhando com cálculo integral, especificamente com integrais duplas. Para resolver isso, vamos precisar entender como configurar a integral dupla e utilizar as propriedades de integrais iteradas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a região de integração R. Ela é um retângulo onde x varia de -1 a 1 e y varia de -2 a 2. Isso significa que para cada valor de x entre -1 e 1, y pode assumir qualquer valor entre -2 e 2.

Passo 3

Agora, vamos escrever a integral dupla de forma iterada. Podemos integrar primeiro em relação a y e depois em relação a x. A integral fica assim:
integral duplaR raiz1 - x^2 , dA = integral-1^1 ( integral-2^2 raiz1 - x^2 , dy ) dx

Passo 4

Observamos que a função raiz1 - x^2 não depende de y, então a integral interna em relação a y é simples. Integrando raiz1 - x^2 de y = -2 a y = 2:
integral-2^2 raiz1 - x^2 , dy = raiz1 - x^2 cdot (2 - (-2)) = 4raiz1 - x^2

Passo 5

Agora, substituímos essa expressão na integral externa:
integral-1^1 4raiz1 - x^2 , dx
Fatoramos o 4 para facilitar:
4 integral-1^1 raiz1 - x^2 , dx

Passo 6

A integral integral raiz1 - x^2 , dx é conhecida e representa a área de um semicírculo de raio 1. O resultado dessa integral de -1 a 1 é pi2 vezes o raio ao quadrado, ou seja, pi2 cdot 1^2 = pi2.

Passo 7

Multiplicamos esse resultado pelo 4 que tínhamos fatorado:
4 cdot pi2 = 2pi

Resposta

O valor da integral dupla é 2pi.

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