Se
, calcule
,
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos pede para calcular a integral dupla de
sobre a região
, que é o retângulo definido por
e
. Aqui, estamos trabalhando com cálculo integral, especificamente com integrais duplas. Para resolver isso, vamos precisar entender como configurar a integral dupla e utilizar as propriedades de integrais iteradas.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a região de integração
. Ela é um retângulo onde
varia de
a
e
varia de
a
. Isso significa que para cada valor de
entre
e
,
pode assumir qualquer valor entre
e
.
Passo 3
Agora, vamos escrever a integral dupla de forma iterada. Podemos integrar primeiro em relação a
e depois em relação a
. A integral fica assim:
Passo 4
Observamos que a função
não depende de
, então a integral interna em relação a
é simples. Integrando
de
a
:
Passo 5
Agora, substituímos essa expressão na integral externa:
Fatoramos o 4 para facilitar:
Passo 6
A integral
é conhecida e representa a área de um semicírculo de raio 1. O resultado dessa integral de
a
é
vezes o raio ao quadrado, ou seja,
.
Passo 7
Multiplicamos esse resultado pelo 4 que tínhamos fatorado:
Resposta
O valor da integral dupla é
.
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no ponto
na direção do vetor
. Qual a direção de máxima variação de
no ponto
?