Se , calcule ,

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos pede para calcular a integral dupla de sobre a região , que é o retângulo definido por e . Aqui, estamos trabalhando com cálculo integral, especificamente com integrais duplas. Para resolver isso, vamos precisar entender como configurar a integral dupla e utilizar as propriedades de integrais iteradas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a região de integração . Ela é um retângulo onde varia de a e varia de a . Isso significa que para cada valor de entre e , pode assumir qualquer valor entre e .

Passo 3

Agora, vamos escrever a integral dupla de forma iterada. Podemos integrar primeiro em relação a e depois em relação a . A integral fica assim:

Passo 4

Observamos que a função não depende de , então a integral interna em relação a é simples. Integrando de a :

Passo 5

Agora, substituímos essa expressão na integral externa:
Fatoramos o 4 para facilitar:

Passo 6

A integral é conhecida e representa a área de um semicírculo de raio 1. O resultado dessa integral de a é vezes o raio ao quadrado, ou seja, .

Passo 7

Multiplicamos esse resultado pelo 4 que tínhamos fatorado:

Resposta

O valor da integral dupla é .

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