(6) Na questão anterior, foi dado o campo vetorial F(x, y)=(-yx^2+y^2, xx^2+y^2).
(b) Nesse caso temos um campo vetorial F(x, y)=(P, Q), onde partial Qpartial x=partial Ppartial y. No entanto esse campo NÃO é conservativo! Se de fato esse campo vetorial fosse conservativo, então, pelo Teorema Fundamental da Integral de Linha, a integral de linha da questão anterior deveria ter dado zero (o que não aconteceu). Explique o porque disso ter acontecido.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um campo vetorial dado por . O conteúdo aqui envolve campos vetoriais e se eles são conservativos ou não. Para resolver, vamos precisar saber o que é um campo vetorial conservativo e o que o Teorema Fundamental da Integral de Linha nos diz sobre eles.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é um campo vetorial conservativo. Um campo vetorial é conservativo se existe uma função potencial tal que . Isso significa que e .

Passo 3

Uma propriedade importante de campos conservativos é que as derivadas parciais cruzadas devem ser iguais, ou seja, . Na questão, já foi dado que , o que seria uma condição necessária para ser conservativo.

Passo 4

No entanto, essa condição não é suficiente para garantir que o campo seja conservativo. Outra condição importante é que o domínio do campo vetorial deve ser simplesmente conexo, ou seja, sem “buracos”. Se o domínio tiver buracos, mesmo que , o campo pode não ser conservativo.

Passo 5

Vamos analisar o nosso campo . Perceba que o denominador nunca é zero, exceto no ponto . Isso significa que o campo está definido em todo o plano menos na origem, ou seja, em um domínio que tem um “buraco” no centro.

Passo 6

Devido a esse buraco no domínio, o Teorema Fundamental da Integral de Linha não garante que a integral ao longo de um caminho fechado seja zero, mesmo que . Isso acontece porque a existência da função potencial pode ser impedida pela presença de caminhos que “enclodem” o buraco.

Passo 7

Na questão anterior, a integral de linha de ao longo de um caminho fechado não foi zero, o que confirma que não é conservativo, mesmo satisfazendo . Isso ocorreu por causa do domínio não simplesmente conexo.

Resposta

O campo vetorial não é conservativo porque, apesar de satisfazer , o domínio do campo não é simplesmente conexo devido ao ponto ausente. Essa falta de continuidade no domínio impede a existência de uma função potencial global para , fazendo com que a integral de linha ao redor de caminhos fechados não seja necessariamente zero.

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