(6) Na questão anterior, foi dado o campo vetorial
.
(b) Nesse caso temos um campo vetorial
, onde
. No entanto esse campo NÃO é conservativo! Se de fato esse campo vetorial fosse conservativo, então, pelo Teorema Fundamental da Integral de Linha, a integral de linha da questão anterior deveria ter dado zero (o que não aconteceu). Explique o porque disso ter acontecido.
(b) Nesse caso temos um campo vetorial
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um campo vetorial dado por
. O conteúdo aqui envolve campos vetoriais e se eles são conservativos ou não. Para resolver, vamos precisar saber o que é um campo vetorial conservativo e o que o Teorema Fundamental da Integral de Linha nos diz sobre eles.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é um campo vetorial conservativo. Um campo vetorial
é conservativo se existe uma função potencial
tal que
. Isso significa que
e
.
Passo 3
Uma propriedade importante de campos conservativos é que as derivadas parciais cruzadas devem ser iguais, ou seja,
. Na questão, já foi dado que
, o que seria uma condição necessária para
ser conservativo.
Passo 4
No entanto, essa condição não é suficiente para garantir que o campo seja conservativo. Outra condição importante é que o domínio do campo vetorial deve ser simplesmente conexo, ou seja, sem “buracos”. Se o domínio tiver buracos, mesmo que
, o campo pode não ser conservativo.
Passo 5
Vamos analisar o nosso campo
. Perceba que o denominador
nunca é zero, exceto no ponto
. Isso significa que o campo está definido em todo o plano menos na origem, ou seja, em um domínio que tem um “buraco” no centro.
Passo 6
Devido a esse buraco no domínio, o Teorema Fundamental da Integral de Linha não garante que a integral ao longo de um caminho fechado seja zero, mesmo que
. Isso acontece porque a existência da função potencial
pode ser impedida pela presença de caminhos que “enclodem” o buraco.
Passo 7
Na questão anterior, a integral de linha de
ao longo de um caminho fechado não foi zero, o que confirma que
não é conservativo, mesmo satisfazendo
. Isso ocorreu por causa do domínio não simplesmente conexo.
Resposta
O campo vetorial
não é conservativo porque, apesar de satisfazer
, o domínio do campo não é simplesmente conexo devido ao ponto
ausente. Essa falta de continuidade no domínio impede a existência de uma função potencial global para
, fazendo com que a integral de linha ao redor de caminhos fechados não seja necessariamente zero.