(6) Na questão anterior, foi dado o campo vetorial $\vec{F}(x, y)=\left(\frac{-y}{x^{2}+y^{2}}, \frac{x}{x^{2}+y^{2}}\right)$. (b) Nesse caso temos um campo vetorial $\vec{F}(x, y)=(P, Q)$, onde $\frac{\partial Q}{\partial x}=\frac{\partial P}{\partial y}$. No entanto esse campo NÃO é conservativo! Se de fato esse campo vetorial fosse conservativo, então, pelo Teorema Fundamental da Integral de Linha, a integral de linha da questão anterior deveria ter dado zero (o que não aconteceu). Explique o porque disso ter acontecido.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um campo vetorial dado por . O conteúdo aqui envolve campos vetoriais e se eles são conservativos ou não. Para resolver, vamos precisar saber o que é um campo vetorial conservativo e o que o Teorema Fundamental da Integral de Linha nos diz sobre eles.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é um campo vetorial conservativo. Um campo vetorial é conservativo se existe uma função potencial tal que . Isso significa que e .

Passo 3

Uma propriedade importante de campos conservativos é que as derivadas parciais cruzadas devem ser iguais, ou seja, . Na questão, já foi dado que , o que seria uma condição necessária para ser conservativo.

Passo 4

No entanto, essa condição não é suficiente para garantir que o campo seja conservativo. Outra condição importante é que o domínio do campo vetorial deve ser simplesmente conexo, ou seja, sem “buracos”. Se o domínio tiver buracos, mesmo que , o campo pode não ser conservativo.

Passo 5

Vamos analisar o nosso campo . Perceba que o denominador nunca é zero, exceto no ponto . Isso significa que o campo está definido em todo o plano menos na origem, ou seja, em um domínio que tem um “buraco” no centro.

Passo 6

Devido a esse buraco no domínio, o Teorema Fundamental da Integral de Linha não garante que a integral ao longo de um caminho fechado seja zero, mesmo que . Isso acontece porque a existência da função potencial pode ser impedida pela presença de caminhos que “enclodem” o buraco.

Passo 7

Na questão anterior, a integral de linha de ao longo de um caminho fechado não foi zero, o que confirma que não é conservativo, mesmo satisfazendo . Isso ocorreu por causa do domínio não simplesmente conexo.

Resposta

O campo vetorial não é conservativo porque, apesar de satisfazer , o domínio do campo não é simplesmente conexo devido ao ponto ausente. Essa falta de continuidade no domínio impede a existência de uma função potencial global para , fazendo com que a integral de linha ao redor de caminhos fechados não seja necessariamente zero.

Exercícios relacionados

(6) Na questão anterior, foi dado o campo vetorial .
(a) Mostre que .
(5) Calcule diretamente a integral de linha , na qual c é o círculo percorrido no sentido anti-horário.
  • Resposta :
(a) O que é uma sequência?
<html><head></head><body><div>Decida se as sequências abaixo convergem ou divergem; quando a sequência for convergente, encontre o seu limite [faça o mesmo para as sequências do item 3)]<br>
(e) <span class="math-inline ">
<mjx-container class=“MathJax” jax=“SVG”><svg style=“vertical-align: -0.357ex;” xmlns=“
http://www.w3.org/2000/svg” width=“9.163ex” height=“2.378ex” role=“img” focusable=“false” viewBox=“0 -893.3 4050.2 1051.1”><title>a_n = e^(1/n)</title><g stroke=“currentColor” fill=“currentColor” stroke-width=“0” transform=“scale(1,-1)”><g data-mml-node=“math”><g data-mml-node=“msub”><g data-mml-node=“mi”><path data-c=“1D44E” d=“M33 157Q33 258 109 349T280 441Q331 441 370 392Q386 422 416 422Q429 422 439 414T449 394Q449 381 412 234T374 68Q374 43 381 35T402 26Q411 27 422 35Q443 55 463 131Q469 151 473 152Q475 153 483 153H487Q506 153 506 144Q506 138 501 117T481 63T449 13Q436 0 417 -8Q409 -10 393 -10Q359 -10 336 5T306 36L300 51Q299 52 296 50Q294 48 292 46Q233 -10 172 -10Q117 -10 75 30T33 157ZM351 328Q351 334 346 350T323 385T277 405Q242 405 210 374T160 293Q131 214 119 129Q119 126 119 118T118 106Q118 61 136 44T179 26Q217 26 254 59T298 110Q300 114 325 217T351 328Z”></path></g><g data-mml-node=“TeXAtom” transform=“translate(562,-150) scale(0.707)” data-mjx-texclass=“ORD”><g data-mml-node=“mi”><path data-c=“1D45B” d=“M21 287Q22 293 24 303T36 341T56 388T89 425T135 442Q171 442 195 424T225 390T231 369Q231 367 232 367L243 378Q304 442 382 442Q436 442 469 415T503 336T465 179T427 52Q427 26 444 26Q450 26 453 27Q482 32 505 65T540 145Q542 153 560 153Q580 153 580 145Q580 144 576 130Q568 101 554 73T508 17T439 -10Q392 -10 371 17T350 73Q350 92 386 193T423 345Q423 404 379 404H374Q288 404 229 303L222 291L189 157Q156 26 151 16Q138 -11 108 -11Q95 -11 87 -5T76 7T74 17Q74 30 112 180T152 343Q153 348 153 366Q153 405 129 405Q91 405 66 305Q60 285 60 284Q58 278 41 278H27Q21 284 21 287Z”></path></g></g></g><g data-mml-node=“mo” transform=“translate(1314,0)”><path data-c=“3D” d=“M56 347Q56 360 70 367H707Q722 359 722 347Q722 336 708 328L390 327H72Q56 332 56 347ZM56 153Q56 168 72 173H708Q722 163 722 153Q722 140 707 133H70Q56 140 56 153Z”></path></g><g data-mml-node=“msup” transform=“translate(2369.8,0)”><g data-mml-node=“mi”><path data-c=“1D452” d=“M39 168Q39 225 58 272T107 350T174 402T244 433T307 442H310Q355 442 388 420T421 355Q421 265 310 237Q261 224 176 223Q139 223 138 221Q138 219 132 186T125 128Q125 81 146 54T209 26T302 45T394 111Q403 121 406 121Q410 121 419 112T429 98T420 82T390 55T344 24T281 -1T205 -11Q126 -11 83 42T39 168ZM373 353Q367 405 305 405Q272 405 244 391T199 357T170 316T154 280T149 261Q149 260 169 260Q282 260 327 284T373 353Z”></path></g><g data-mml-node=“TeXAtom” transform=“translate(499,363) scale(0.707)” data-mjx-texclass=“ORD”><g data-mml-node=“mn”><path data-c=“31” d=“M213 578L200 573Q186 568 160 563T102 556H83V602H102Q149 604 189 617T245 641T273 663Q275 666 285 666Q294 666 302 660V361L303 61Q310 54 315 52T339 48T401 46H427V0H416Q395 3 257 3Q121 3 100 0H88V46H114Q136 46 152 46T177 47T193 50T201 52T207 57T213 61V578Z”></path></g><g data-mml-node=“TeXAtom” data-mjx-texclass=“ORD” transform=“translate(500,0)”><g data-mml-node=“mo”><path data-c=“2F” d=“M423 750Q432 750 438 744T444 730Q444 725 271 248T92 -240Q85 -250 75 -250Q68 -250 62 -245T56 -231Q56 -221 230 257T407 740Q411 750 423 750Z”></path></g></g><g data-mml-node=“mi” transform=“translate(1000,0)”><path data-c=“1D45B” d=“M21 287Q22 293 24 303T36 341T56 388T89 425T135 442Q171 442 195 424T225 390T231 369Q231 367 232 367L243 378Q304 442 382 442Q436 442 469 415T503 336T465 179T427 52Q427 26 444 26Q450 26 453 27Q482 32 505 65T540 145Q542 153 560 153Q580 153 580 145Q580 144 576 130Q568 101 554 73T508 17T439 -10Q392 -10 371 17T350 73Q350 92 386 193T423 345Q423 404 379 404H374Q288 404 229 303L222 291L189 157Q156 26 151 16Q138 -11 108 -11Q95 -11 87 -5T76 7T74 17Q74 30 112 180T152 343Q153 348 153 366Q153 405 129 405Q91 405 66 305Q60 285 60 284Q58 278 41 278H27Q21 284 21 287Z”></path></g></g></g></g></g></svg></mjx-container></span></div>
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