Calcule a dist^ancia do ponto r: 2=-3 ; y=4 ao plano . Determinar uma equa, c̃ao geral do plano que passa pelos pontos e e

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que envolve dois tópicos principais da geometria analítica: calcular a distância de um ponto a um plano e encontrar a equação geral de um plano que passa por dois pontos e contém uma reta. Para isso, vamos precisar usar fórmulas específicas dessas áreas e entender um pouco sobre vetores e planos no espaço tridimensional.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a distância do ponto d = |A x0 + B y0 + C z0 + D|raizA^2 + B^2 + C^2 ao plano 2x + y -5z -49 =0 . Para isso, usamos a fórmula da distância de um ponto a um plano :
Mas antes, precisamos rearranjar a equação do plano para a forma . A equação dada é , então subtraindo 49 de ambos os lados:
Agora, identificamos , , e .

Passo 3

Agora, vamos aplicar a fórmula da distância. Substituindo os valores de d = |2 cdot 1 + 1 cdot 2 -5 cdot 3 -49|raiz2^2 + 1^2 + (-5)^2 = |2 + 2 -15 -49|raiz4 +1 +25 = |-60|raiz30 = 60raiz30 = 60 raiz3030 = 2 raiz30 , , , e as coordenadas do ponto :
Então, a distância é .

Passo 4

Agora, vamos determinar a equação geral do plano que passa pelos pontos r: x = -3 + 2t; y =4; z = ? e e contém a reta dada por:
Observando a reta, vemos que é constante e igual a 4, e varia conforme . Não foi fornecida a equação para , então vamos assumir que também varia, mas precisamos de outra informação para definir completamente a reta.
Além disso, como o plano deve conter essa reta e passar pelos pontos e , precisamos de um terceiro ponto ou de uma direção adicional para definir o plano. Contudo, com as informações dadas, podemos supor que a reta está contida no plano.

Passo 5

Para encontrar a equação do plano, precisamos de um vetor normal ao plano. Sabemos que dois vetores que estão no plano podem ser usados para encontrar o vetor normal através do produto vetorial.
Primeiro, encontramos o vetor que vai de AB = B - A = (-1 - (-3), 2 -1, 1 - (-2)) = (2,1,3) até :
Agora, identificamos a direção da reta . Da equação da reta, o vetor diretor é . Como não temos a variação de , vamos considerar que varia de forma independente, então podemos assumir que o vetor diretor é .

Passo 6

Com os vetores n = AB times d = i & j & k 2 & 1 & 3 2 & 0 &1 = i(1 cdot 1 - 3 cdot 0) - j(2 cdot1 -3 cdot2) + k(2 cdot0 -1 cdot2) = i(1) - j(-4) + k(-2) = (1,4,-2) e , calculamos o produto vetorial para obter o vetor normal :
Então, o vetor normal ao plano é .

Passo 7

Com o vetor normal A(x - x0) + B(y - y0) + C(z - z0) =0 e passando pelo ponto 1(x +3) + 4(y -1) -2(z +2) =0 x +3 +4y -4 -2z -4 =0 x +4y -2z -5 =0 , podemos usar a equação geral do plano:
Substituindo , , e :
Então, a equação geral do plano é .

Resposta

A distância do ponto ao plano é . A equação geral do plano que passa pelos pontos e e contém a reta dada é .

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