Calcule a dist^ancia do ponto ao plano . Determinar uma equa, c̃ao geral do plano que passa pelos pontos e e
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício que envolve dois tópicos principais da geometria analítica: calcular a distância de um ponto a um plano e encontrar a equação geral de um plano que passa por dois pontos e contém uma reta. Para isso, vamos precisar usar fórmulas específicas dessas áreas e entender um pouco sobre vetores e planos no espaço tridimensional.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a distância do ponto ao plano . Para isso, usamos a fórmula da distância de um ponto a um plano :
Mas antes, precisamos rearranjar a equação do plano para a forma . A equação dada é , então subtraindo 49 de ambos os lados:
Agora, identificamos , , e .
Passo 3
Agora, vamos aplicar a fórmula da distância. Substituindo os valores de , , , e as coordenadas do ponto :
Então, a distância é .
Passo 4
Agora, vamos determinar a equação geral do plano que passa pelos pontos e e contém a reta dada por:
Observando a reta, vemos que é constante e igual a 4, e varia conforme . Não foi fornecida a equação para , então vamos assumir que também varia, mas precisamos de outra informação para definir completamente a reta.
Além disso, como o plano deve conter essa reta e passar pelos pontos e , precisamos de um terceiro ponto ou de uma direção adicional para definir o plano. Contudo, com as informações dadas, podemos supor que a reta está contida no plano.
Passo 5
Para encontrar a equação do plano, precisamos de um vetor normal ao plano. Sabemos que dois vetores que estão no plano podem ser usados para encontrar o vetor normal através do produto vetorial.
Primeiro, encontramos o vetor que vai de até :
Agora, identificamos a direção da reta . Da equação da reta, o vetor diretor é . Como não temos a variação de , vamos considerar que varia de forma independente, então podemos assumir que o vetor diretor é .
Passo 6
Com os vetores e , calculamos o produto vetorial para obter o vetor normal :
Então, o vetor normal ao plano é .
Passo 7
Com o vetor normal e passando pelo ponto , podemos usar a equação geral do plano:
Substituindo , , e :
Então, a equação geral do plano é .
Resposta
A distância do ponto ao plano é . A equação geral do plano que passa pelos pontos e e contém a reta dada é .