Calcule, usando a eliminação de Gauss-Jordan, as inversas das seguintes matrizes (se existir). .

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma matriz e precisamos encontrar a sua inversa usando o método de eliminação de Gauss-Jordan. A matriz dada é:
Para encontrar a inversa de uma matriz, , precisamos que a matriz original seja invertível, ou seja, que o determinante de seja diferente de zero. Usaremos o método de Gauss-Jordan, que envolve transformar a matriz em uma matriz identidade enquanto aplicamos as mesmas operações a uma matriz identidade paralela. No final, a matriz que estava ao lado se transforma na inversa de .

Passo 2

Começamos criando uma matriz aumentada, que é a combinação da matriz com a matriz identidade :
Nosso objetivo é transformar a parte esquerda dessa matriz aumentada na matriz identidade, aplicando operações nas linhas.

Passo 3

Primeiro, vamos focar no primeiro elemento da primeira coluna, que já é 1. Isso é ótimo porque facilita as próximas operações. Agora, queremos zerar os elementos abaixo desse 1 na primeira coluna.
Para isso:
  • Linha 2 ( ):
  • Linha 3 ( ):
Aplicando essas operações:

Passo 4

Agora, vamos trabalhar com a segunda coluna. Queremos que o elemento da segunda linha e segunda coluna seja 1, o que já está feito. Em seguida, vamos zerar os elementos acima e abaixo desse 1 na segunda coluna.
Para isso:
  • Linha 1 ( ):
  • Linha 3 ( ):
Aplicando essas operações:

Passo 5

Agora, vamos focar na terceira coluna. Queremos que o elemento da terceira linha e terceira coluna seja 1. Para isso, dividimos toda a terceira linha por 2:
Isso resulta em:

Passo 6

Agora, precisamos zerar os elementos acima do 1 na terceira coluna.
Para isso:
  • Linha 1 ( ):
  • Linha 2 ( ):
Aplicando essas operações:

Resposta

A inversa da matriz é:

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