Calcule, usando a eliminação de Gauss-Jordan, as inversas das seguintes matrizes (se existir). .
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma matriz e precisamos encontrar a sua inversa usando o método de eliminação de Gauss-Jordan. A matriz dada é:
Para encontrar a inversa de uma matriz, , precisamos que a matriz original seja invertível, ou seja, que o determinante de seja diferente de zero. Usaremos o método de Gauss-Jordan, que envolve transformar a matriz em uma matriz identidade enquanto aplicamos as mesmas operações a uma matriz identidade paralela. No final, a matriz que estava ao lado se transforma na inversa de .
Passo 2
Começamos criando uma matriz aumentada, que é a combinação da matriz com a matriz identidade :
Nosso objetivo é transformar a parte esquerda dessa matriz aumentada na matriz identidade, aplicando operações nas linhas.
Passo 3
Primeiro, vamos focar no primeiro elemento da primeira coluna, que já é 1. Isso é ótimo porque facilita as próximas operações. Agora, queremos zerar os elementos abaixo desse 1 na primeira coluna.
Para isso:
Linha 2 ():
Linha 3 ():
Aplicando essas operações:
Passo 4
Agora, vamos trabalhar com a segunda coluna. Queremos que o elemento da segunda linha e segunda coluna seja 1, o que já está feito. Em seguida, vamos zerar os elementos acima e abaixo desse 1 na segunda coluna.
Para isso:
Linha 1 ():
Linha 3 ():
Aplicando essas operações:
Passo 5
Agora, vamos focar na terceira coluna. Queremos que o elemento da terceira linha e terceira coluna seja 1. Para isso, dividimos toda a terceira linha por 2:
Isso resulta em:
Passo 6
Agora, precisamos zerar os elementos acima do 1 na terceira coluna.