Calcule as integrais: integral d xx^2-6 x+25

Passo 1

Beleza, você quer calcular a integral de 1x^2-6x+25 , dx. Esse exercício está dentro da matéria de cálculo integral, mais especificamente envolvendo frações racionais quadráticas. Vamos precisar completar o quadrado no denominador para facilitar a integração.

Passo 2

Primeiro, vamos completar o quadrado no denominador x^2 - 6x + 25. Completar o quadrado ajuda a reescrever a expressão de uma forma que a integral se torne mais fácil de resolver.

Passo 3

Para completar o quadrado, pegamos os termos quadráticos e lineares: x^2 - 6x. Pegamos o coeficiente de x, que é -6, dividimos por 2 e elevamos ao quadrado: (-62)^2 = 9. Então, adicionamos e subtraímos 9 dentro do denominador:
x^2 - 6x + 9 - 9 + 25 = (x^2 - 6x + 9) + 16 = (x - 3)^2 + 16.

Passo 4

Agora, a integral fica:
integral dx(x - 3)^2 + 16.
Isso se assemelha à forma padrão da integral integral duu^2 + a^2 = 1a arctan(ua) + C, onde a é uma constante.

Passo 5

Identificamos u = x - 3 e a^2 = 16, então a = 4. A integral então se torna:
integral duu^2 + 4^2 = 14 arctan(u4) + C.

Passo 6

Substituímos u de volta para x - 3:
14 arctan(x - 34) + C.

Resposta

A integral é igual a 14 arctan(x - 34) + C.

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