Calcule a distância entre duas faces opostas de um octaedro regular de aresta a.

Passo 1

Beleza! A gente tem um exercício de Geometria que pede para calcular a distância entre duas faces opostas de um octaedro regular com aresta de comprimento . Para resolver isso, vamos precisar entender as propriedades de um octaedro regular e como calcular alturas dentro dessa figura.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é um octaedro regular. Ele é um dos Sólidos de Platão e tem 8 faces que são todos triângulos equiláteros, 6 vértices e 12 arestas, todas com o mesmo comprimento .

Passo 3

Agora, para encontrar a distância entre duas faces opostas, vamos pensar na altura do octaedro. Imagine que o octaedro é como duas pirâmides de base triangular unidas pela base. A distância que a gente quer é exatamente a altura de uma dessas pirâmides.

Passo 4

Para encontrar a altura ht = a raiz32 de uma pirâmide com base triangular equilátera, precisamos saber a altura de um triângulo equilátero com lado . A fórmula para a altura de um triângulo equilátero é:

Passo 5

A altura da pirâmide não é a mesma que a altura do triângulo. Para encontrar h = a raiz63 , usamos a relação geométrica que liga a altura da pirâmide com a altura da base. A fórmula fica assim:

Resposta

A distância entre duas faces opostas de um octaedro regular de aresta a raiz63 é:

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