Prove (vetorialmente) o Teorema dos Cossenos.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para provar o Teorema dos Cossenos usando vetores. O Teorema dos Cossenos relaciona os lados de um triângulo com o cosseno de um de seus ângulos. Para isso, vamos precisar entender conceitos básicos de vetores, como soma e produto escalar. Vamos lá!
Passo 2
Primeiro, vamos imaginar um triângulo qualquer com lados de comprimentos
,
e
, e vamos focar no ângulo
entre os lados
e
. Vamos representar os lados
e
como vetores
e
que partem do mesmo ponto.
Passo 3
O terceiro lado,
, será representado pela diferença dos vetores:
. Isso porque, geometricamente, ao subtrair um vetor de outro, obtemos um vetor que vai do final de um ao final do outro.
Passo 4
Agora, vamos usar o produto escalar (também conhecido como produto interno) dos vetores. O produto escalar de dois vetores
e
é dado por:
onde
é o ângulo entre eles.
Passo 5
Aplicando o produto escalar no vetor
, temos:
Expandindo essa expressão:
Passo 6
Sabemos que
e
. Substituindo na equação:
Passo 7
Agora, substituímos o produto escalar
pela fórmula do produto escalar em termos do cosseno:
Passo 8
Rearranjando os termos, chegamos à forma clássica do Teorema dos Cossenos:
Resposta
Portanto, provamos vetorialmente que:
Esse é o Teorema dos Cossenos.