Prove (vetorialmente) o Teorema dos Cossenos.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para provar o Teorema dos Cossenos usando vetores. O Teorema dos Cossenos relaciona os lados de um triângulo com o cosseno de um de seus ângulos. Para isso, vamos precisar entender conceitos básicos de vetores, como soma e produto escalar. Vamos lá!

Passo 2

Primeiro, vamos imaginar um triângulo qualquer com lados de comprimentos , e , e vamos focar no ângulo entre os lados e . Vamos representar os lados e como vetores e que partem do mesmo ponto.

Passo 3

O terceiro lado, , será representado pela diferença dos vetores: . Isso porque, geometricamente, ao subtrair um vetor de outro, obtemos um vetor que vai do final de um ao final do outro.

Passo 4

Agora, vamos usar o produto escalar (também conhecido como produto interno) dos vetores. O produto escalar de dois vetores a cdot b = |a|,|b|,cos(theta) e é dado por:
onde é o ângulo entre eles.

Passo 5

Aplicando o produto escalar no vetor c cdot c = (a - b) cdot (a - b) , temos:
c cdot c = a cdot a - 2,a cdot b + b cdot b
Expandindo essa expressão:

Passo 6

Sabemos que c^2 = a^2 - 2,a cdot b + b^2 e . Substituindo na equação:

Passo 7

Agora, substituímos o produto escalar c^2 = a^2 - 2,ab,cos(C) + b^2 pela fórmula do produto escalar em termos do cosseno:

Passo 8

Rearranjando os termos, chegamos à forma clássica do Teorema dos Cossenos:
c^2 = a^2 + b^2 - 2,ab,cos(C)

Resposta

Portanto, provamos vetorialmente que:
c^2 = a^2 + b^2 - 2,ab,cos(C)
Esse é o Teorema dos Cossenos.

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