Determine a série de Taylor centrada em
para a função
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para determinar a série de Taylor centrada em
para a função
. Isso significa que vamos expandir essa função em uma série de potências em torno de
. Para isso, vamos precisar entender como fazer a expansão em série de Taylor e usar a fórmula do binômio para séries.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a função
de forma que o centro da série,
, apareça na expressão. Podemos fazer isso substituindo
por
:
Passo 3
Agora, queremos expressar a função na forma
, onde
,
e
. A fórmula do binômio de Newton para expoentes negativos nos permite expandir essa expressão em uma série infinita:
Passo 4
Aplicando essa fórmula à nossa função:
Simplificando
:
Passo 5
A combinação
pode ser simplificada usando a fórmula:
Aplicando
:
Passo 6
Substituindo de volta na expressão de
:
Os sinais negativos se cancelam:
Resposta
A série de Taylor centrada em
para a função
é dada por: