Determine a série de Taylor centrada em x=-3 para a função f(x)=7x^4.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para determinar a série de Taylor centrada em para a função . Isso significa que vamos expandir essa função em uma série de potências em torno de . Para isso, vamos precisar entender como fazer a expansão em série de Taylor e usar a fórmula do binômio para séries.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a função f(x) = 7(x)^4 = 7(-3 + (x + 3))^4 de forma que o centro da série, , apareça na expressão. Podemos fazer isso substituindo por :

Passo 3

Agora, queremos expressar a função na forma (a + b)^k = a^k sumn=0^infty binomkn (ba)^n , onde , e . A fórmula do binômio de Newton para expoentes negativos nos permite expandir essa expressão em uma série infinita:

Passo 4

Aplicando essa fórmula à nossa função:
f(x) = 7(-3)^4 sumn=0^infty binom-4n (x + 3-3)^n
Simplificando f(x) = 781 sumn=0^infty binom-4n (-x + 33)^n :

Passo 5

A combinação binom-kn = (-1)^n binomn + k -1n pode ser simplificada usando a fórmula:
binom-4n = (-1)^n binomn + 3n = (-1)^n binomn + 33
Aplicando :

Passo 6

Substituindo de volta na expressão de f(x) = 781 sumn=0^infty (-1)^n binomn + 33 (-x + 33)^n :
f(x) = 781 sumn=0^infty binomn + 33 (x + 33)^n
Os sinais negativos se cancelam:

Resposta

A série de Taylor centrada em f(x) = 781 sumn=0^infty binomn + 33 (x + 33)^n para a função é dada por:

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