Demonstrar vetorialmente que num triângulo retângulo qualquer cateto é média geométrica entre sua projeção sobre a hipotenusa e a hipotenusa inteira (Relação métrica no triângulo retângulo).

Passo 1

Então, vamos lá! O exercício pede pra gente mostrar, usando vetores, que num triângulo retângulo qualquer, um dos catetos é a média geométrica entre a sua projeção sobre a hipotenusa e toda a hipotenusa. Basicamente, vamos trabalhar com vetores e propriedades de triângulos retângulos pra chegar nessa relação métrica. Vamos precisar usar conceitos de projeção vetorial e o teorema de Pitágoras para resolver isso passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos desenhar um triângulo retângulo. Vamos chamar os vértices de , e , sendo que o ângulo reto está em . Assim, os lados e são os catetos, e é a hipotenusa.

Passo 3

Agora, vamos aplicar vetores aos lados do triângulo. Podemos considerar o vetor representando um cateto e o vetor representando a hipotenusa. Queremos encontrar a projeção de sobre .

Passo 4

A projeção de um vetor projv u = ( u cdot v|v|^2 ) v sobre um vetor é dada pela fórmula:
Aqui, é o produto escalar dos vetores e , e é o módulo (comprimento) do vetor .

Passo 5

Vamos calcular a projeção de AC cdot AB = |AC| cdot |AB| cdot cos(90°) = 0 sobre . No triângulo retângulo, como o ângulo em é reto, o produto escalar entre e é:
Esperei, isso está errado! Na verdade, o ângulo entre e não é de 90°, mas sim o ângulo entre e . Vamos corrigir isso.

Passo 6

Desculpa pela confusão! Vamos reorganizar. Considerando que é o ângulo reto, a projeção de sobre não será zero. De fato, a projeção de sobre será um segmento , onde está na hipotenusa .

Passo 7

Vamos chamar AC = raizAD cdot AB e . Nosso objetivo é mostrar que é a média geométrica entre e , ou seja:
Para isso, precisamos relacionar os comprimentos usando propriedades dos triângulos semelhantes.

Passo 8

No triângulo retângulo ACAB = ADAC implies AC^2 = AD cdot AB , ao traçar a altura sobre a hipotenusa , obtemos dois triângulos menores: e , que são semelhantes ao tri��ngulo original . Com isso, podemos estabelecer as proporções:

Passo 9

Essa relação AC = raizAD cdot AB mostra exatamente que é a média geométrica entre e , pois:

Resposta

Assim, demonstramos vetorialmente que em um triângulo retângulo qualquer cateto AC = raizAD cdot AB é a média geométrica entre sua projeção sobre a hipotenusa e a hipotenusa inteira , ou seja:

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