Calcule a distância de P=(1,1,-1) à interseção de pi1: x-y=1 e pi2: x+y-z=0.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que calcular a distância do ponto até a interseção dos dois planos e . Para isso, vamos precisar entender como esses planos se cruzam e depois usar uma fórmula de geometria para encontrar essa distância.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a linha onde os dois planos se intersectam. Para isso, precisamos resolver o sistema de equações formado por x = y + 1 e (y + 1) + y - z = 0 Rightarrow 2y + 1 - z = 0 Rightarrow z = 2y + 1 .
Da equação , podemos isolar :
Agora, substituímos na equação :

Passo 3

Com essas expressões, podemos parametrizar a linha de interseção y = t . Vamos usar um parâmetro x = t + 1 e z = 2t + 1 para L: x = t + 1 y = t z = 2t + 1 :
Então,
Portanto, a parametrização da linha fica:

Passo 4

Agora, vamos calcular a distância do ponto d = |P - r0 times u||u| até a linha P - r0 = (1 - 1, 1 - 0, -1 - 1) = (0, 1, -2) . A fórmula para a distância P - r0 times u = (0, 1, -2) times (1, 1, 2) = (4, -2, -1) de um ponto |P - r0 times u| = raiz4^2 + (-2)^2 + (-1)^2 = raiz16 + 4 + 1 = raiz21 a uma linha parametrizada por |u| = raiz1^2 + 1^2 + 2^2 = raiz1 + 1 + 4 = raiz6 é:
d = raiz21raiz6 = raiz142
Aqui, pode ser um ponto na linha . Vamos escolher na parametrização de para facilitar, então e .
Calculando :
Agora, fazemos o produto vetorial:
Calculando o módulo do produto vetorial:
E o módulo de :
Finalmente, a distância é:

Resposta

A distância é unidades.

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