Obtenha uma reta r que contém o ponto A= (1,1,2), é paralela a pi: x-2 y+2 z-4=0 e dista 1raiz2 da reta s: X=(3,1,1)+lambda(4,1,-1).

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que a gente precisa fazer! Queremos encontrar uma reta que:
  1. Passa pelo ponto .
  2. É paralela ao plano .
  3. Está a uma distância de da reta .
Para resolver isso, vamos usar conceitos de geometria analítica no espaço, como vetores diretores, planos e distância entre retas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa uma reta ser paralela a um plano. Se uma reta é paralela a um plano, o vetor diretor da reta deve ser perpendicular ao vetor normal do plano.
O plano v cdot n = 0 tem a equação vx cdot 1 + vy cdot (-2) + vz cdot 2 = 0 , então o vetor normal vx - 2vy + 2vz = 0 desse plano é .
Então, o vetor diretor da reta deve satisfazer:

Passo 3

Agora, vamos considerar a distância entre a reta d = |(a2 - a1) cdot (v times u)|||v times u|| que queremos encontrar e a reta dada. A fórmula para a distância entre duas retas e no espaço, que não são necessariamente paralelas, é:
Onde:
  • e são pontos nas retas e , respectivamente.
  • e são os vetores diretores das retas e .
Queremos que essa distância seja .

Passo 4

Vamos identificar os vetores e pontos:
  • Ponto na reta vx - 2(1) + 2vz = 0 Rightarrow vx + 2vz = 2 :
  • Vetor diretor da reta : (ainda desconhecido)
  • Ponto na reta :
  • Vetor diretor da reta :
Já sabemos que deve satisfazer . Vamos escolher valores para e que facilitem o cálculo. Por exemplo, vamos supor :
Vamos escolher , então . Assim, .

Passo 5

Agora, vamos calcular a distância entre as retas v times u = i & j & k 2 & 1 & 0 4 & 1 & -1 = i(1 cdot (-1) - 0 cdot 1) - j(2 cdot (-1) - 0 cdot 4) + k(2 cdot 1 - 1 cdot 4) e = i(-1) - j(-2) + k(-2) usando a fórmula mencionada no Passo 3.
Primeiro, encontramos = (-1, 2, -2) :
(2, 0, -1) cdot (-1, 2, -2) = 2 times (-1) + 0 times 2 + (-1) times (-2) = -2 + 0 + 2 = 0
vx + 2(1) = 2 Rightarrow vx = 0
v = (0, 1, 1)
Agora, calculamos v times u = i & j & k 0 & 1 & 1 4 & 1 & -1 = i(1 cdot (-1) - 1 cdot 1) - j(0 cdot (-1) - 1 cdot 4) + k(0 cdot 1 - 1 cdot 4) .
O produto escalar = i(-2) - j(-4) + k(-4) é:
= (-2, 4, -4)
Isso significa que a distância entre as retas (2, 0, -1) cdot (-2, 4, -4) = 2 times (-2) + 0 times 4 + (-1) times (-4) = -4 + 0 + 4 = 0 e é zero, ou seja, elas se interceptam, o que não atende à nossa condição de distância . Portanto, precisamos escolher outro vetor diretor .
Vamos tentar outro valor para . Suponha :
Repetindo o cálculo da distância:
Calculando o produto escalar:
De novo, a distância é zero. Isso indica que precisamos buscar outro vetor diretor que satisfaça a condição de distância. Para simplificar, vamos parametrizar como e encontrar o valor de que satisfaz a distância requerida.

Passo 6

Vamos supor que v times u = i & j & k 2 & 1 & t 4 & 1 & -1 = i(1 cdot (-1) - t cdot 1) - j(2 cdot (-1) - t cdot 4) + k(2 cdot 1 - 1 cdot 4) . Nosso objetivo é encontrar = i(-1 - t) - j(-2 - 4t) + k(-2) tal que a distância entre = (-1 - t, 2 + 4t, -2) e (2, 0, -1) cdot (-1 - t, 2 + 4t, -2) = 2(-1 - t) + 0(2 + 4t) + (-1)(-2) = -2 - 2t + 0 + 2 = -2t seja ||v times u|| = raiz(-1 - t)^2 + (2 + 4t)^2 + (-2)^2 = raiz(1 + 2t + t^2) + (4 + 16t + 16t^2) + 4 = raiz21t^2 + 18t + 9 .
Primeiro, calculamos |-2t|raiz21t^2 + 18t + 9 = 1raiz2 :
4t^221t^2 + 18t + 9 = 12
4t^2 = 12(21t^2 + 18t + 9)
8t^2 = 21t^2 + 18t + 9
O produto escalar 0 = 13t^2 + 18t + 9 é:
t = -18 pm raiz18^2 - 4 cdot 13 cdot 92 cdot 13 = -18 pm raiz324 - 46826 = -18 pm raiz-14426
A norma de é:
Queremos que:
Elevando ambos os lados ao quadrado para eliminar a raiz:
Multiplicando ambos os lados por :
Resolvendo essa equação quadrática para :
Como o discriminante é negativo, não há solução real para . Isso significa que nossa suposição de não funciona.

Passo 7

Vamos tentar uma abordagem diferente. Sabemos que o vetor diretor v = n times u = i & j & k 1 & -2 & 2 4 & 1 & -1 = i((-2)(-1) - 2(1)) - j(1(-1) - 2(4)) + k(1(1) - (-2)(4)) deve ser perpendicular ao vetor normal do plano = i(2 - 2) - j(-1 - 8) + k(1 + 8) e também deve ajustar-se à condição de distância.
Vamos escolher = (0, 9, 9) como , onde é o vetor diretor da reta .
Calculando:
Então, podemos simplificar .

Passo 8

Vamos agora verificar a distância usando v times u = i & j & k 0 & 1 & 1 4 & 1 & -1 = i(1 cdot (-1) - 1 cdot 1) - j(0 cdot (-1) - 1 cdot 4) + k(0 cdot 1 - 1 cdot 4) .
Calculando = i(-2) - j(-4) + k(-4) :
= (-2, 4, -4)
(2, 0, -1) cdot (-2, 4, -4) = 2(-2) + 0(4) + (-1)(-4) = -4 + 0 + 4 = 0
Produto escalar :
A distância ainda é zero. Parece que precisamos reconsiderar nossa abordagem para satisfazer a condição de distância.

Passo 9

Vamos tentar encontrar um vetor diretor v times u = i & j & k 1 & 1 & 12 4 & 1 & -1 = i(1 cdot (-1) - 12 cdot 1) - j(1 cdot (-1) - 12 cdot 4) + k(1 cdot 1 - 1 cdot 4) que seja perpendicular a = i(-1 - 12) - j(-1 - 2) + k(1 - 4) e, simultaneamente, que a distância entre = (-32, 3, -3) e (2, 0, -1) cdot (-32, 3, -3) = 2(-32) + 0(3) + (-1)(-3) = -3 + 0 + 3 = 0 seja .
Podemos parametrizar como com a condição .
Assumindo , temos . Vamos escolher , então .
Então, .
Agora, calculamos :
Produto escalar :
Novamente, a distância é zero. Parece que estamos presos nessa condição. Isso sugere que não existe uma reta que satisfaça todas as condições dadas. Pode ser que o enunciado tenha restrições adicionais ou que seja necessário reconsiderar os passos anteriores.

Resposta

Após tentar diferentes vetores diretores e calcular a distância, constatamos que não existe uma reta que passe pelo ponto , seja paralela ao plano e esteja a uma distância de da reta . Portanto, não há solução que satisfaça todas as condições simultaneamente.

Exercícios relacionados