Obtenha uma reta que contém o ponto , é paralela a e dista da reta .
Passo 1
Vamos dar uma olhada no que a gente precisa fazer! Queremos encontrar uma reta que:
Passa pelo ponto .
É paralela ao plano .
Está a uma distância de da reta .
Para resolver isso, vamos usar conceitos de geometria analítica no espaço, como vetores diretores, planos e distância entre retas.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa uma reta ser paralela a um plano. Se uma reta é paralela a um plano, o vetor diretor da reta deve ser perpendicular ao vetor normal do plano.
O plano tem a equação , então o vetor normal desse plano é .
Então, o vetor diretor da reta deve satisfazer:
Passo 3
Agora, vamos considerar a distância entre a reta que queremos encontrar e a reta dada. A fórmula para a distância entre duas retas e no espaço, que não são necessariamente paralelas, é:
Onde:
e são pontos nas retas e , respectivamente.
e são os vetores diretores das retas e .
Queremos que essa distância seja .
Passo 4
Vamos identificar os vetores e pontos:
Ponto na reta :
Vetor diretor da reta : (ainda desconhecido)
Ponto na reta :
Vetor diretor da reta :
Já sabemos que deve satisfazer . Vamos escolher valores para e que facilitem o cálculo. Por exemplo, vamos supor :
Vamos escolher , então . Assim, .
Passo 5
Agora, vamos calcular a distância entre as retas e usando a fórmula mencionada no Passo 3.
Primeiro, encontramos :
vx + 2(1) = 2 Rightarrow vx = 0
v = (0, 1, 1)
Agora, calculamos v times u = i & j & k 0 & 1 & 1 4 & 1 & -1 = i(1 cdot (-1) - 1 cdot 1) - j(0 cdot (-1) - 1 cdot 4) + k(0 cdot 1 - 1 cdot 4) .
O produto escalar = i(-2) - j(-4) + k(-4) é:
= (-2, 4, -4)
Isso significa que a distância entre as retas (2, 0, -1) cdot (-2, 4, -4) = 2 times (-2) + 0 times 4 + (-1) times (-4) = -4 + 0 + 4 = 0 e é zero, ou seja, elas se interceptam, o que não atende à nossa condição de distância . Portanto, precisamos escolher outro vetor diretor .
Vamos tentar outro valor para . Suponha :
Repetindo o cálculo da distância:
Calculando o produto escalar:
De novo, a distância é zero. Isso indica que precisamos buscar outro vetor diretor que satisfaça a condição de distância. Para simplificar, vamos parametrizar como e encontrar o valor de que satisfaz a distância requerida.
Passo 6
Vamos supor que v times u = i & j & k 2 & 1 & t 4 & 1 & -1 = i(1 cdot (-1) - t cdot 1) - j(2 cdot (-1) - t cdot 4) + k(2 cdot 1 - 1 cdot 4) . Nosso objetivo é encontrar = i(-1 - t) - j(-2 - 4t) + k(-2) tal que a distância entre = (-1 - t, 2 + 4t, -2) e (2, 0, -1) cdot (-1 - t, 2 + 4t, -2) = 2(-1 - t) + 0(2 + 4t) + (-1)(-2) = -2 - 2t + 0 + 2 = -2t seja ||v times u|| = raiz(-1 - t)^2 + (2 + 4t)^2 + (-2)^2 = raiz(1 + 2t + t^2) + (4 + 16t + 16t^2) + 4 = raiz21t^2 + 18t + 9 .
Elevando ambos os lados ao quadrado para eliminar a raiz:
Multiplicando ambos os lados por :
Resolvendo essa equação quadrática para :
Como o discriminante é negativo, não há solução real para . Isso significa que nossa suposição de não funciona.
Passo 7
Vamos tentar uma abordagem diferente. Sabemos que o vetor diretor v = n times u = i & j & k 1 & -2 & 2 4 & 1 & -1 = i((-2)(-1) - 2(1)) - j(1(-1) - 2(4)) + k(1(1) - (-2)(4)) deve ser perpendicular ao vetor normal do plano = i(2 - 2) - j(-1 - 8) + k(1 + 8) e também deve ajustar-se à condição de distância.
Vamos escolher = (0, 9, 9) como , onde é o vetor diretor da reta .
Calculando:
Então, podemos simplificar .
Passo 8
Vamos agora verificar a distância usando v times u = i & j & k 0 & 1 & 1 4 & 1 & -1 = i(1 cdot (-1) - 1 cdot 1) - j(0 cdot (-1) - 1 cdot 4) + k(0 cdot 1 - 1 cdot 4) .
A distância ainda é zero. Parece que precisamos reconsiderar nossa abordagem para satisfazer a condição de distância.
Passo 9
Vamos tentar encontrar um vetor diretor v times u = i & j & k 1 & 1 & 12 4 & 1 & -1 = i(1 cdot (-1) - 12 cdot 1) - j(1 cdot (-1) - 12 cdot 4) + k(1 cdot 1 - 1 cdot 4) que seja perpendicular a = i(-1 - 12) - j(-1 - 2) + k(1 - 4) e, simultaneamente, que a distância entre = (-32, 3, -3) e (2, 0, -1) cdot (-32, 3, -3) = 2(-32) + 0(3) + (-1)(-3) = -3 + 0 + 3 = 0 seja .
Podemos parametrizar como com a condição .
Assumindo , temos . Vamos escolher , então .
Então, .
Agora, calculamos :
Produto escalar :
Novamente, a distância é zero. Parece que estamos presos nessa condição. Isso sugere que não existe uma reta que satisfaça todas as condições dadas. Pode ser que o enunciado tenha restrições adicionais ou que seja necessário reconsiderar os passos anteriores.
Resposta
Após tentar diferentes vetores diretores e calcular a distância, constatamos que não existe uma reta que passe pelo ponto , seja paralela ao plano e esteja a uma distância de da reta . Portanto, não há solução que satisfaça todas as condições simultaneamente.