Obtenha uma reta que contém o ponto , é paralela a e dista da reta .

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que a gente precisa fazer! Queremos encontrar uma reta que:
  1. Passa pelo ponto .
  2. É paralela ao plano .
  3. Está a uma distância de da reta .
Para resolver isso, vamos usar conceitos de geometria analítica no espaço, como vetores diretores, planos e distância entre retas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa uma reta ser paralela a um plano. Se uma reta é paralela a um plano, o vetor diretor da reta deve ser perpendicular ao vetor normal do plano.
O plano tem a equação , então o vetor normal desse plano é .
Então, o vetor diretor da reta deve satisfazer:

Passo 3

Agora, vamos considerar a distância entre a reta que queremos encontrar e a reta dada. A fórmula para a distância entre duas retas e no espaço, que não são necessariamente paralelas, é:
Onde:
  • e são pontos nas retas e , respectivamente.
  • e são os vetores diretores das retas e .
Queremos que essa distância seja .

Passo 4

Vamos identificar os vetores e pontos:
  • Ponto na reta :
  • Vetor diretor da reta : (ainda desconhecido)
  • Ponto na reta :
  • Vetor diretor da reta :
Já sabemos que deve satisfazer . Vamos escolher valores para e que facilitem o cálculo. Por exemplo, vamos supor :
Vamos escolher , então . Assim, .

Passo 5

Agora, vamos calcular a distância entre as retas e usando a fórmula mencionada no Passo 3.
Primeiro, encontramos :
Agora, calculamos .
O produto escalar é:
Isso significa que a distância entre as retas e é zero, ou seja, elas se interceptam, o que não atende à nossa condição de distância . Portanto, precisamos escolher outro vetor diretor .
Vamos tentar outro valor para . Suponha :
Repetindo o cálculo da distância:
Calculando o produto escalar:
De novo, a distância é zero. Isso indica que precisamos buscar outro vetor diretor que satisfaça a condição de distância. Para simplificar, vamos parametrizar como e encontrar o valor de que satisfaz a distância requerida.

Passo 6

Vamos supor que . Nosso objetivo é encontrar tal que a distância entre e seja .
Primeiro, calculamos :
O produto escalar é:
A norma de é:
Queremos que:
Elevando ambos os lados ao quadrado para eliminar a raiz:
Multiplicando ambos os lados por :
Resolvendo essa equação quadrática para :
Como o discriminante é negativo, não há solução real para . Isso significa que nossa suposição de não funciona.

Passo 7

Vamos tentar uma abordagem diferente. Sabemos que o vetor diretor deve ser perpendicular ao vetor normal do plano e também deve ajustar-se à condição de distância.
Vamos escolher como , onde é o vetor diretor da reta .
Calculando:
Então, podemos simplificar .

Passo 8

Vamos agora verificar a distância usando .
Calculando :
Produto escalar :
A distância ainda é zero. Parece que precisamos reconsiderar nossa abordagem para satisfazer a condição de distância.

Passo 9

Vamos tentar encontrar um vetor diretor que seja perpendicular a e, simultaneamente, que a distância entre e seja .
Podemos parametrizar como com a condição .
Assumindo , temos . Vamos escolher , então .
Então, .
Agora, calculamos :
Produto escalar :
Novamente, a distância é zero. Parece que estamos presos nessa condição. Isso sugere que não existe uma reta que satisfaça todas as condições dadas. Pode ser que o enunciado tenha restrições adicionais ou que seja necessário reconsiderar os passos anteriores.

Resposta

Após tentar diferentes vetores diretores e calcular a distância, constatamos que não existe uma reta que passe pelo ponto , seja paralela ao plano e esteja a uma distância de da reta . Portanto, não há solução que satisfaça todas as condições simultaneamente.

Exercícios relacionados

Calcule a distância entre a reta e o plano , nos casos a seguir: , e .
Calcule a distância de à interseção de e .
© Obtenha dois vetores diretores de e dois pontos de , distintos de e .
Considere os pontos e , as retas
e
e os planos
e .
Determine, se possível: , de modo que a reta que passa pelo ponto e é paralela à reta seja reversa com a reta .