Obtenha uma equação vetorial da reta a partir de suas equações planares.
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Passo 1

Beleza, vamos lá! Você tem um exercício onde precisa encontrar a equação vetorial de uma reta a partir de duas equações planares dadas:
Isso envolve conceitos de Geometria Analítica, especificamente sobre como representar retas no espaço tridimensional usando vetores. Para resolver isso, vamos precisar identificar um ponto na reta e um vetor diretor que indique a direção da reta.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar um ponto que pertence à reta. Olhando para a primeira equação, vemos que . Isso significa que em qualquer ponto da reta, o valor de é sempre 3.
Agora, vamos usar a segunda equação para encontrar o valor de correspondente:
Substituindo :
Então, já temos e . O valor de não está fixo em nenhuma das equações, o que indica que ele pode variar livremente. Vamos chamar de , onde é um parâmetro real.
Portanto, um ponto na reta pode ser representado como .

Passo 3

Agora, vamos montar a equação vetorial da reta. A equação vetorial tem a forma:
Onde:
  • é um ponto conhecido na reta.
  • é o vetor diretor da reta.
  • é o parâmetro real.
No nosso caso, podemos escolher o ponto (quando ).
O vetor diretor indica a direção em que a reta se move. Como o valor de está variando e e são fixos, o vetor diretor será na direção do eixo , ou seja, .

Resposta

Então, a equação vetorial da reta é:

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Obtenha equações da forma planar para as seguintes retas:
(b)
Obtenha a interseção da reta com o plano :
(a)
Estude a posição relativa de e :
(a)
Calcule a distância de à interseção de e .