Beleza, vamos dar uma olhada nesse exercício! A gente precisa estudar a posição relativa entre uma reta e um plano . Isso significa entender como eles se relacionam no espaço: se a reta está contida no plano, se são paralelos ou se se cruzam em um ponto. Para resolver isso, vamos precisar usar as equações paramétricas da reta e a equação geral do plano.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever as equações da reta x = 1 + lambda y = 1 - lambda z = lambda de forma clara. A reta está definida por:
Aqui, é o parâmetro que varia ao longo da reta.
Passo 3
Agora, vamos olhar a equação do plano x + y - z = -2 :
Nossa missão é descobrir se existe algum ponto na reta que também satisfaça essa equação do plano. Se existir, a reta intersecta o plano nesse ponto.
Passo 4
Para isso, vamos substituir as expressões paramétricas da reta na equação do plano. Ou seja, vamos substituir (1 + lambda) + (1 - lambda) - lambda = -2 , e nas duas equações:
Vamos simplificar essa equação passo a passo.
Passo 5
Primeiro, some os termos:
1 + lambda + 1 - lambda - lambda = -2
Note que 2 - lambda = -2 e se cancelam:
Agora, vamos isolar .
Passo 6
Subtraia 2 de ambos os lados:
- lambda = -4
Agora, multiplique os dois lados por -1 para resolver para lambda = 4 :
Encontramos o valor de que faz a reta estar no plano .
Passo 7
Com x = 1 + 4 = 5 y = 1 - 4 = -3 z = 4 , vamos encontrar as coordenadas do ponto de interseção substituindo de volta nas equações paramétricas da reta:
Então, o ponto de interseção é .
Resposta
A reta intercepta o plano no ponto . Ou seja, eles se cruzam nesse único ponto.