Beleza, vamos dar uma olhada nesse exercício! A gente precisa estudar a posição relativa entre uma reta e um plano . Isso significa entender como eles se relacionam no espaço: se a reta está contida no plano, se são paralelos ou se se cruzam em um ponto. Para resolver isso, vamos precisar usar as equações paramétricas da reta e a equação geral do plano.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever as equações da reta de forma clara. A reta está definida por:
Aqui, é o parâmetro que varia ao longo da reta.
Passo 3
Agora, vamos olhar a equação do plano :
Nossa missão é descobrir se existe algum ponto na reta que também satisfaça essa equação do plano. Se existir, a reta intersecta o plano nesse ponto.
Passo 4
Para isso, vamos substituir as expressões paramétricas da reta na equação do plano. Ou seja, vamos substituir , e nas duas equações:
Vamos simplificar essa equação passo a passo.
Passo 5
Primeiro, some os termos:
Note que e se cancelam:
Agora, vamos isolar .
Passo 6
Subtraia 2 de ambos os lados:
Agora, multiplique os dois lados por -1 para resolver para :
Encontramos o valor de que faz a reta estar no plano .
Passo 7
Com , vamos encontrar as coordenadas do ponto de interseção substituindo de volta nas equações paramétricas da reta:
Então, o ponto de interseção é .
Resposta
A reta intercepta o plano no ponto . Ou seja, eles se cruzam nesse único ponto.