Estude a posição relativa de e :
(a)

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada nesse exercício! A gente precisa estudar a posição relativa entre uma reta e um plano . Isso significa entender como eles se relacionam no espaço: se a reta está contida no plano, se são paralelos ou se se cruzam em um ponto. Para resolver isso, vamos precisar usar as equações paramétricas da reta e a equação geral do plano.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever as equações da reta de forma clara. A reta está definida por:
Aqui, é o parâmetro que varia ao longo da reta.

Passo 3

Agora, vamos olhar a equação do plano :
Nossa missão é descobrir se existe algum ponto na reta que também satisfaça essa equação do plano. Se existir, a reta intersecta o plano nesse ponto.

Passo 4

Para isso, vamos substituir as expressões paramétricas da reta na equação do plano. Ou seja, vamos substituir , e nas duas equações:
Vamos simplificar essa equação passo a passo.

Passo 5

Primeiro, some os termos:
Note que e se cancelam:
Agora, vamos isolar .

Passo 6

Subtraia 2 de ambos os lados:
Agora, multiplique os dois lados por -1 para resolver para :
Encontramos o valor de que faz a reta estar no plano .

Passo 7

Com , vamos encontrar as coordenadas do ponto de interseção substituindo de volta nas equações paramétricas da reta:
Então, o ponto de interseção é .

Resposta

A reta intercepta o plano no ponto . Ou seja, eles se cruzam nesse único ponto.

Exercícios relacionados

Obtenha uma equação vetorial da reta a partir de suas equações planares.
©
Obtenha equações da forma planar para as seguintes retas:
(b)
Calcule a distância de à interseção de e .
Calcule a distância entre a reta e o plano , nos casos a seguir: , e .