Calcule a distância entre a reta r e o plano alpha, nos casos a seguir: r:(x, y, z)=(1,0,2)+h(-2,2,-3), h in R, e s:(x, y, z)=(1,1,-1)+t(2,-1,0), t in R.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente precisa resolver aqui é calcular a distância entre duas retas no espaço. Isso faz parte da matéria de Geometria Analítica, onde usamos vetores e equações de retas para entender como elas se posicionam umas em relação às outras. Para resolver isso, a gente vai precisar das equações das retas e entender um pouco sobre vetores direcionais.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as equações das duas retas que a gente tem:
  • A reta (x, y, z) = (1, 0, 2) + h(-2, 2, -3), h in R é dada por:
    (x, y, z) = (1, 1, -1) + t(2, -1, 0), t in R
  • A reta é dada por:
Aqui, e são parâmetros reais que variam, e os vetores e são os vetores direcionais das retas e , respectivamente.

Passo 3

Agora, vamos verificar se as retas são paralelas. Duas retas são paralelas se os vetores direcionais são múltiplos um do outro. Para isso, vamos comparar os vetores direcionais:
  • Vetor direcional de -2 = 2k Rightarrow k = -1 : 2 = -1k Rightarrow k = -2
  • Vetor direcional de -3 = 0k Rightarrow k não existe :
Vamos ver se existe um número tal que :
ã
Como não conseguimos encontrar um único valor de que satisfaça todas as componentes, as retas e não são paralelas.

Passo 4

Como as retas não são paralelas, elas podem ou não se interceptar. Se elas não se cortam, são chamadas de retas skew (ou retas oblíquas). Para encontrar a distância entre duas retas que não são paralelas, usamos uma fórmula que considera os vetores direcionais e a posição relativa das retas.

Passo 5

A fórmula para a distância D = |v times w cdot PQ||v times w| entre duas retas v = (-2, 2, -3), w = (2, -1, 0) e v times w = i & j & k -2 & 2 & -3 2 & -1 & 0 = i(2 cdot 0 - (-3) cdot (-1)) - j(-2 cdot 0 - (-3) cdot 2) + k(-2 cdot (-1) - 2 cdot 2) que não são paralelas é dada por:
= i(0 - 3) - j(0 + 6) + k(2 - 4)
Onde:
  • = -3i - 6j - 2k e v times w = (-3, -6, -2) são os vetores direcionais das retas |v times w| = raiz(-3)^2 + (-6)^2 + (-2)^2 = raiz9 + 36 + 4 = raiz49 = 7 e PQ = Q - P = (1 - 1, 1 - 0, -1 - 2) = (0, 1, -3) , respectivamente.
  • v times w cdot PQ = (-3, -6, -2) cdot (0, 1, -3) = (-3)(0) + (-6)(1) + (-2)(-3) = 0 - 6 + 6 = 0 é o vetor que liga um ponto D = |0|7 = 0 da reta a um ponto da reta .
Vamos calcular cada parte:
  1. Cálculo do produto vetorial :
  2. Cálculo da magnitude de :
  3. Escolha dos pontos e :
    Vamos escolher da reta e da reta .
  4. Cálculo do vetor :
  5. Cálculo do produto escalar :
  6. Cálculo da distância :

Resposta

A distância entre as retas e é 0 unidades, ou seja, as retas se interceptam.

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