Calcule a distância entre a reta e o plano , nos casos a seguir: , e .
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente precisa resolver aqui é calcular a distância entre duas retas no espaço. Isso faz parte da matéria de Geometria Analítica, onde usamos vetores e equações de retas para entender como elas se posicionam umas em relação às outras. Para resolver isso, a gente vai precisar das equações das retas e entender um pouco sobre vetores direcionais.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as equações das duas retas que a gente tem:
A reta é dada por:
A reta é dada por:
Aqui, e são parâmetros reais que variam, e os vetores e são os vetores direcionais das retas e , respectivamente.
Passo 3
Agora, vamos verificar se as retas são paralelas. Duas retas são paralelas se os vetores direcionais são múltiplos um do outro. Para isso, vamos comparar os vetores direcionais:
Vetor direcional de :
Vetor direcional de :
Vamos ver se existe um número tal que :
Como não conseguimos encontrar um único valor de que satisfaça todas as componentes, as retas e não são paralelas.
Passo 4
Como as retas não são paralelas, elas podem ou não se interceptar. Se elas não se cortam, são chamadas de retas skew (ou retas oblíquas). Para encontrar a distância entre duas retas que não são paralelas, usamos uma fórmula que considera os vetores direcionais e a posição relativa das retas.
Passo 5
A fórmula para a distância entre duas retas e que não são paralelas é dada por:
Onde:
e são os vetores direcionais das retas e , respectivamente.
é o vetor que liga um ponto da reta a um ponto da reta .
Vamos calcular cada parte:
Cálculo do produto vetorial :
Cálculo da magnitude de :
Escolha dos pontos e :
Vamos escolher da reta e da reta .
Cálculo do vetor :
Cálculo do produto escalar :
Cálculo da distância :
Resposta
A distância entre as retas e é 0 unidades, ou seja, as retas se interceptam.