Calcule a distância entre a reta e o plano , nos casos a seguir: , e .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente precisa resolver aqui é calcular a distância entre duas retas no espaço. Isso faz parte da matéria de Geometria Analítica, onde usamos vetores e equações de retas para entender como elas se posicionam umas em relação às outras. Para resolver isso, a gente vai precisar das equações das retas e entender um pouco sobre vetores direcionais.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as equações das duas retas que a gente tem:
  • A reta é dada por:
  • A reta é dada por:
Aqui, e são parâmetros reais que variam, e os vetores e são os vetores direcionais das retas e , respectivamente.

Passo 3

Agora, vamos verificar se as retas são paralelas. Duas retas são paralelas se os vetores direcionais são múltiplos um do outro. Para isso, vamos comparar os vetores direcionais:
  • Vetor direcional de :
  • Vetor direcional de :
Vamos ver se existe um número tal que :
ã
Como não conseguimos encontrar um único valor de que satisfaça todas as componentes, as retas e não são paralelas.

Passo 4

Como as retas não são paralelas, elas podem ou não se interceptar. Se elas não se cortam, são chamadas de retas skew (ou retas oblíquas). Para encontrar a distância entre duas retas que não são paralelas, usamos uma fórmula que considera os vetores direcionais e a posição relativa das retas.

Passo 5

A fórmula para a distância entre duas retas e que não são paralelas é dada por:
Onde:
  • e são os vetores direcionais das retas e , respectivamente.
  • é o vetor que liga um ponto da reta a um ponto da reta .
Vamos calcular cada parte:
  1. Cálculo do produto vetorial :
  2. Cálculo da magnitude de :
  3. Escolha dos pontos e :
    Vamos escolher da reta e da reta .
  4. Cálculo do vetor :
  5. Cálculo do produto escalar :
  6. Cálculo da distância :

Resposta

A distância entre as retas e é 0 unidades, ou seja, as retas se interceptam.

Exercícios relacionados

Calcule a distância de à interseção de e .
Estude a posição relativa de e :
(a)
Obtenha uma reta que contém o ponto , é paralela a e dista da reta .
© Obtenha dois vetores diretores de e dois pontos de , distintos de e .