Calcule a distância de P=(1,3,-4) ao plano
pi: X=(1,0,0)+lambda(1,0,0)+mu(-1,0,3)(lambda, mu in R)

Passo 1

Beleza! A gente vai calcular a distância do ponto pi: X = (1, 0, 0) + lambda(1, 0, 0) + mu(-1, 0, 3) (lambda, mu in R) até o plano definido por:
Aqui, vamos usar geometria analítica, especificamente a fórmula da distância de um ponto a um plano. Primeiro, precisamos achar uma forma mais fácil de trabalhar com o plano, como a equação geral do plano.

Passo 2

Para achar a equação geral do plano, precisamos primeiro encontrar o vetor normal ao plano n = u times v = i & j & k 1 & 0 & 0 -1 & 0 & 3 . O vetor normal é perpendicular ao plano e é fundamental para calcular a distância.
Os vetores que definem o plano são e . Para encontrar o vetor normal , a gente calcula o produto vetorial desses dois vetores:

Passo 3

Calculando o determinante, temos:
n = i(0 cdot 3 - 0 cdot 0) - j(1 cdot 3 - 0 cdot (-1)) + k(1 cdot 0 - 0 cdot (-1)) = (0, -3, 0)
Ent��o, o vetor normal ao plano é .

Passo 4

Com o vetor normal a(x - x0) + b(y - y0) + c(z - z0) = 0 e um ponto do plano, que é , podemos escrever a equação geral do plano. A equação geral do plano é dada por:
Onde são as componentes do vetor normal e é um ponto no plano.

Passo 5

Substituindo os valores:
0(x - 1) - 3(y - 0) + 0(z - 0) = 0 Rightarrow -3y = 0 Rightarrow y = 0
Então, a equação do plano é simplesmente .

Passo 6

Agora vamos usar a fórmula da distância de um ponto D = |ax1 + by1 + cz1 + d|raiza^2 + b^2 + c^2 até um plano :
No nosso caso, a equação do plano é , que pode ser escrita como . Então, , , e .

Passo 7

Substituindo os valores na fórmula:
D = |0 cdot 1 + 1 cdot 3 + 0 cdot (-4) + 0|raiz0^2 + 1^2 + 0^2 = |3|1 = 3

Resposta

A distância do ponto ao plano é igual a 3 unidades.

Exercícios relacionados

Simplificar as equações abaixo utilizando as devidas transformações (rotação e/ou translação), deduzir e justificar a cônica em questão, apresentar todos os elementos desta cônica e, por fim, desenhar o gráfico correspondente.
Tópico A
9 x^2+4 x y+6 y^2+12 x+36 y+44=0
Verifique que W é um subespaço de V. Em cada caso, suponha que V tenha as operações usuais. V=M2 times 2 e W é o conjunto de todas as matrizes de ordem 2 da forma [ll0 & a b & 0]
Seja V o espaço vetorial das funções f: R R. Mostre que W é um subespaço de V , nos seguintes casos: W=f(x) in F(R, R) mid f(1)=0, todas as funções cujo valor em 1 é 0 .
Determine se os seguintes vetores são LI ou LD em R^2 :
(2,1),(3,2)