Verifique que W é um subespaço de V. Em cada caso, suponha que V tenha as operações usuais. V=M2 times 2 e W é o conjunto de todas as matrizes de ordem 2 da forma [ll0 & a b & 0]

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício quer que a gente verifique se o conjunto 0 & a b & 0 é um subespaço de . Aqui, é o conjunto de todas as matrizes , e é o conjunto de matrizes dessa forma:
Para provar que é um subespaço, precisamos verificar três coisa: se o vetor zero está em , se é fechado sob adição e se é fechado sob multiplicação por escalar.

Passo 2

Primeiro, vamos conferir se o vetor zero está em 0 & 0 0 & 0 . O vetor zero em é a matriz onde todos os elementos são zero:
Essa matriz está na forma que define , pois e . Então, o vetor zero está em .

Passo 3

Agora, vamos ver se A = 0 & a b & 0 , B = 0 & c d & 0 é fechado sob adição. Isso significa que se a gente pegar duas matrizes qualquer de A + B = 0 + 0 & a + c b + d & 0 + 0 = 0 & a + c b + d & 0 e somar, o resultado também deve estar em .
Seja:
A soma delas é:
Como a nova matriz também tem zeros na diagonal e outros elementos livres, ela pertence a . Então, é fechado sob adição.

Passo 4

Por último, vamos checar se A = 0 & a b & 0 , k in R é fechado sob multiplicação por escalar. Isso quer dizer que se a gente multiplicar uma matriz de kA = k cdot 0 & k cdot a k cdot b & k cdot 0 = 0 & k a k b & 0 por qualquer número real , o resultado também deve estar em .
Seja:
Multiplicando por :
Essa matriz mantém os zeros na diagonal e os outros elementos são múltiplos de e , então está em . Assim, é fechado sob multiplicação por escalar.

Resposta

Como o vetor zero está em , é fechado sob adição e sob multiplicação por escalar, podemos concluir que é um subespaço de .

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