Verifique que
é um subespaço de
. Em cada caso, suponha que
tenha as operações usuais.
e W é o conjunto de todas as matrizes de ordem 2 da forma
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício quer que a gente verifique se o conjunto
é um subespaço de
. Aqui,
é o conjunto de todas as matrizes
, e
é o conjunto de matrizes dessa forma:
Para provar que
é um subespaço, precisamos verificar três coisa: se o vetor zero está em
, se
é fechado sob adição e se
é fechado sob multiplicação por escalar.
Passo 2
Primeiro, vamos conferir se o vetor zero está em
. O vetor zero em
é a matriz onde todos os elementos são zero:
Essa matriz está na forma que define
, pois
e
. Então, o vetor zero está em
.
Passo 3
Agora, vamos ver se
é fechado sob adição. Isso significa que se a gente pegar duas matrizes qualquer de
e somar, o resultado também deve estar em
.
Seja:
A soma delas é:
Como a nova matriz também tem zeros na diagonal e outros elementos livres, ela pertence a
. Então,
é fechado sob adição.
Passo 4
Por último, vamos checar se
é fechado sob multiplicação por escalar. Isso quer dizer que se a gente multiplicar uma matriz de
por qualquer número real
, o resultado também deve estar em
.
Seja:
Multiplicando por
:
Essa matriz mantém os zeros na diagonal e os outros elementos são múltiplos de
e
, então está em
. Assim,
é fechado sob multiplicação por escalar.
Resposta
Como o vetor zero está em
,
é fechado sob adição e sob multiplicação por escalar, podemos concluir que
é um subespaço de
.