Determine se os seguintes vetores são LI ou LD em
:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui são dois vetores no plano, ou seja, em
. A questão é descobrir se esses vetores são Linearmente Independentes (LI) ou Linearmente Dependentes (LD). Para isso, a gente vai precisar entender um pouquinho sobre combinação linear e como determinar se uma relação entre esses vetores é possível de forma não trivial.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que significa vetores serem Linearmente Independentes ou Dependentes. Dois vetores são Linearmente Independentes se nenhum deles pode ser escrito como múltiplo do outro. Em outras palavras, não existe um número escalar
tal que
. Se existir tal
, os vetores são Linearmente Dependentes.
Passo 3
Para determinar isso formalmente, a gente monta uma combinação linear dos vetores igualada ao vetor zero e verifica se a única solução para os coeficientes dessa combinação é a trivial (onde todos os coeficientes são zero).
Ou seja, queremos encontrar escalares
e
tais que:
Isso nos dá o sistema de equações:
Passo 4
Agora, vamos resolver esse sistema de equações para ver se a única solução é
e
. Se houver outra solução, os vetores são LD.
Vamos resolver a segunda equação para
:
Substituindo na primeira equação:
E então,
.
Passo 5
A única solução para o sistema é
e
, o que significa que os vetores não podem ser combinados de outra forma para resultar no vetor zero.
Resposta
Os vetores
são Linearmente Independentes (LI) em
.
Exercícios relacionados
Seja V o espaço vetorial das funções
. Mostre que W é um subespaço de V , nos seguintes casos:
, todas as funções cujo valor em 1 é 0 .
Calcule a distância de
ao plano
Determine se os seguintes vetores são LI ou LD em
:
Verifique se os conjuntos de vetores em
são LI ou LD: