Seja V o espaço vetorial das funções f: R R. Mostre que W é um subespaço de V , nos seguintes casos: W=f(x) in F(R, R) mid f(1)=0, todas as funções cujo valor em 1 é 0 .

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede pra gente mostrar que W é um subespaço de V, onde V é o espaço vetorial das funções que vão de R para R. O conteúdo aqui é de álgebra linear, especificamente sobre espaços vetoriais e subespaços. Pra resolver, vamos precisar verificar três condições: se W não tá vazia, se é fechada sob adição de funções e se é fechada sob multiplicação por escalar.

Passo 2

Primeiro, vamos ver se W não tá vazia. Para isso, a gente precisa checar se a função “zero”, que manda todo número real pra zero, tá em W. Essa função é o vetor nulo no espaço V.
A função zero é definida por f(x) = 0 para todo x in R. Vamos ver se ela satisfaz a condição de W:
f(1) = 0
Como f(1) = 0, a função zero pertence a W. Então, W não tá vazia.

Passo 3

Agora, vamos verificar se W é fechada sob adição de funções. Isso significa que se a gente pegar duas funções que estão em W e somar elas, o resultado também deve estar em W.
Sejam f e g duas funções em W. Então, temos:
f(1) = 0 e g(1) = 0
Vamos somar essas funções:
(f + g)(1) = f(1) + g(1) = 0 + 0 = 0
Então, a soma f + g também satisfaz a condição de W, ou seja, (f + g)(1) = 0. Logo, W é fechada sob adição.

Passo 4

Por último, vamos ver se W é fechada sob multiplicação por escalar. Isso quer dizer que se a gente multiplica uma função de W por um número real qualquer, o resultado ainda tá em W.
Seja f uma função em W e c um número real. Então:
f(1) = 0
Vamos multiplicar f por c:
(cf)(1) = c cdot f(1) = c cdot 0 = 0
Assim, a função cf também satisfaz a condição de W, ou seja, (cf)(1) = 0. Portanto, W é fechada sob multiplicação por escalar.

Resposta

Concluímos que W satisfaz todas as condições para ser um subespaço de V. Logo, W é um subespaço de V.

Exercícios relacionados