Seja V o espaço vetorial das funções
. Mostre que W é um subespaço de V , nos seguintes casos:
, todas as funções cujo valor em 1 é 0 .
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede pra gente mostrar que W é um subespaço de V, onde V é o espaço vetorial das funções que vão de
para
. O conteúdo aqui é de álgebra linear, especificamente sobre espaços vetoriais e subespaços. Pra resolver, vamos precisar verificar três condições: se W não tá vazia, se é fechada sob adição de funções e se é fechada sob multiplicação por escalar.
Passo 2
Primeiro, vamos ver se W não tá vazia. Para isso, a gente precisa checar se a função “zero”, que manda todo número real pra zero, tá em W. Essa função é o vetor nulo no espaço V.
A função zero é definida por
para todo
. Vamos ver se ela satisfaz a condição de W:
Como
, a função zero pertence a W. Então, W não tá vazia.
Passo 3
Agora, vamos verificar se W é fechada sob adição de funções. Isso significa que se a gente pegar duas funções que estão em W e somar elas, o resultado também deve estar em W.
Sejam
e
duas funções em W. Então, temos:
Vamos somar essas funções:
Então, a soma
também satisfaz a condição de W, ou seja,
. Logo, W é fechada sob adição.
Passo 4
Por último, vamos ver se W é fechada sob multiplicação por escalar. Isso quer dizer que se a gente multiplica uma função de W por um número real qualquer, o resultado ainda tá em W.
Seja
uma função em W e
um número real. Então:
Vamos multiplicar
por
:
Assim, a função
também satisfaz a condição de W, ou seja,
. Portanto, W é fechada sob multiplicação por escalar.
Resposta
Concluímos que W satisfaz todas as condições para ser um subespaço de V. Logo, W é um subespaço de V.