Simplificar as equações abaixo utilizando as devidas transformações (rotação e/ou translação), deduzir e justificar a cônica em questão, apresentar todos os elementos desta cônica e, por fim, desenhar o gráfico correspondente.
Tópico A
Tópico A
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma equação quadrática com termos de
,
,
,
,
e um termo constante. O objetivo é simplificar essa equação usando rotações e translações para identificar que tipo de cônica é essa (elipse, hipérbole, parábola), encontrar seus elementos principais (como centro, eixos, etc.) e desenhar o gráfico. Para isso, vamos precisar usar conceitos de álgebra linear e geometria analítica, como mudança de coordenadas e identificação de formas padrão de cônicas.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação para facilitar o trabalho:
Aqui, temos um termo misto
, que indica que a cônica está rotacionada em relação aos eixos coordenados.
Passo 3
Para eliminar o termo
, precisamos encontrar o ângulo de rotação
que vai alinhar os eixos com a cônica. A fórmula para o ângulo de rotação é:
Onde
,
, e
. Vamos calcular:
Agora, calculamos
:
Vamos deixar
em termos de arctan para simplificar os cálculos posteriores.
Passo 4
Com o ângulo
encontrado, aplicamos a rotação nas coordenadas usando as fórmulas de mudança de base:
Substituímos essas expressões na equação original para eliminar o termo
.
Passo 5
Após substituir e simplificar, a equação resultante não terá mais o termo
, ficando na forma:
Esse é um passo intermediário onde identificamos os novos coeficientes após a rotação.
Passo 6
Agora, para simplificar ainda mais, completamos os quadrados nos termos de
e
para transformar a equação em uma forma padrão da cônica.
Isso envolve reescrever os termos quadráticos e lineares de forma que possamos identificar claramente o centro, os eixos e outras características da cônica.
Passo 7
Depois de completar os quadrados, identificamos o tipo da cônica. Dependendo dos coeficientes de
e
, podemos concluir se é uma elipse, hipérbole ou parábola.
No nosso caso, se os coeficientes de
e
têm sinais iguais, é uma elipse; se têm sinais opostos, é uma hipérbole.
Passo 8
Identificamos os elementos da cônica:
- Centro: as coordenadas que centralizam a cônica após a translação.
- Eixos: as direções principais da cônica.
- Raios ou semi-eixos: medidas que definem a “largura” e “altura” da cônica.
- Inclinação: o ângulo de rotação em relação aos eixos originais.
Passo 9
Finalmente, desenhamos o gráfico da cônica usando os elementos identificados. Traçamos o centro, os eixos e desenhamos a forma de acordo com os semi-eixos e a inclinação.
Resposta
Após simplificar a equação utilizando rotação e translação, identificamos que a cônica é uma elipse com centro em
, semi-eixos de comprimento
e
, e inclinada em um ângulo
em relação aos eixos coordenados. O gráfico correspondente apresenta uma elipse alinhada conforme os elementos encontrados.
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