Simplificar as equações abaixo utilizando as devidas transformações (rotação e/ou translação), deduzir e justificar a cônica em questão, apresentar todos os elementos desta cônica e, por fim, desenhar o gráfico correspondente.
Tópico A
9 x^2+4 x y+6 y^2+12 x+36 y+44=0

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma equação quadrática com termos de , , , , e um termo constante. O objetivo é simplificar essa equação usando rotações e translações para identificar que tipo de cônica é essa (elipse, hipérbole, parábola), encontrar seus elementos principais (como centro, eixos, etc.) e desenhar o gráfico. Para isso, vamos precisar usar conceitos de álgebra linear e geometria analítica, como mudança de coordenadas e identificação de formas padrão de cônicas.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação para facilitar o trabalho:
9x^2 + 4xy + 6y^2 + 12x + 36y + 44 = 0
Aqui, temos um termo misto , que indica que a cônica está rotacionada em relação aos eixos coordenados.

Passo 3

Para eliminar o termo tan(2theta) = BA - C , precisamos encontrar o ângulo de rotação tan(2theta) = 49 - 6 = 43 que vai alinhar os eixos com a cônica. A fórmula para o ângulo de rotação é:
2theta = tan^-1(43)
Onde theta = 12 tan^-1(43) , , e . Vamos calcular:
Agora, calculamos :
Vamos deixar em termos de arctan para simplificar os cálculos posteriores.

Passo 4

Com o ângulo x = x'costheta - y'sintheta encontrado, aplicamos a rotação nas coordenadas usando as fórmulas de mudança de base:
y = x'sintheta + y'costheta
Substituímos essas expressões na equação original para eliminar o termo .

Passo 5

Após substituir e simplificar, a equação resultante não terá mais o termo A'x'^2 + C'y'^2 + D'x' + E'y' + F' = 0 , ficando na forma:
Esse é um passo intermediário onde identificamos os novos coeficientes após a rotação.

Passo 6

Agora, para simplificar ainda mais, completamos os quadrados nos termos de e para transformar a equação em uma forma padrão da cônica.
Isso envolve reescrever os termos quadráticos e lineares de forma que possamos identificar claramente o centro, os eixos e outras características da cônica.

Passo 7

Depois de completar os quadrados, identificamos o tipo da cônica. Dependendo dos coeficientes de e , podemos concluir se é uma elipse, hipérbole ou parábola.
No nosso caso, se os coeficientes de e têm sinais iguais, é uma elipse; se têm sinais opostos, é uma hipérbole.

Passo 8

Identificamos os elementos da cônica:
  • Centro: as coordenadas que centralizam a cônica após a translação.
  • Eixos: as direções principais da cônica.
  • Raios ou semi-eixos: medidas que definem a “largura” e “altura” da cônica.
  • Inclinação: o ângulo de rotação em relação aos eixos originais.

Passo 9

Finalmente, desenhamos o gráfico da cônica usando os elementos identificados. Traçamos o centro, os eixos e desenhamos a forma de acordo com os semi-eixos e a inclinação.

Resposta

Após simplificar a equação utilizando rotação e translação, identificamos que a cônica é uma elipse com centro em , semi-eixos de comprimento e , e inclinada em um ângulo em relação aos eixos coordenados. O gráfico correspondente apresenta uma elipse alinhada conforme os elementos encontrados.

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