Calcule a distância de ao plano que passa pelo ponto médio do segmento com extremos

e e que seja ortogonal à direção .
A. 2.822
B. 2.824
C. 2.832
D. 2.830
E. 2.826
F. 2.828

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para calcular a distância do ponto até um plano que passa pelo ponto médio do segmento entre os pontos e e que é perpendicular à direção de . Para resolver isso, vamos precisar entender alguns conceitos de geometria espacial, como ponto médio, vetores, equação de um plano e a fórmula da distância de um ponto até um plano.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o ponto médio do segmento que une e . A fórmula para o ponto médio entre dois pontos e é:
Aplicando os valores de e :
Então, o ponto médio é .

Passo 3

Agora, vamos determinar o vetor diretor da direção de para . O vetor é dado por:
Esse vetor será o vetor normal do plano, já que o plano é perpendicular à direção de .

Passo 4

Com o vetor normal e o ponto no plano, podemos escrever a equação geral do plano na forma:
Onde é um ponto no plano e são as componentes do vetor normal. Substituindo:
Simplificando:
Podemos simplificar mais dividindo todos os termos por 3:
Então, a equação do plano é:

Passo 5

Agora, vamos calcular a distância do ponto até o plano . A fórmula para a distância de um ponto até um plano é:
No nosso caso, , , , e . Substituindo na fórmula:

Resposta

F. 2.828

Exercícios relacionados

c) calcular .
Considere e o plano . Calcule o ponto que satisfaz: e (b) é ortogonal ao plano. é:
A. 0.967
B. 0.973
C. 0.969
D. 0.977
E. 0.975
F. 0.971
Sejam bases ordenadas de . Determine:
(b)
Encontre vetores geradores para cada um dos subespaços descritos abaixo.