Calcule a distância de O ao plano que passa pelo ponto médio do segmento com extremos A(4,-3,-2)
[2 pts]
e B(1,0,-2) e que seja ortogonal à direção A B.
A. 2.822
B. 2.824
C. 2.832
D. 2.830
E. 2.826
F. 2.828

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para calcular a distância do ponto até um plano que passa pelo ponto médio do segmento entre os pontos e e que é perpendicular à direção de . Para resolver isso, vamos precisar entender alguns conceitos de geometria espacial, como ponto médio, vetores, equação de um plano e a fórmula da distância de um ponto até um plano.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o ponto médio M ( x1 + x22, y1 + y22, z1 + z22 ) do segmento que une Mx = 4 + 12 = 52 = 2.5 e My = -3 + 02 = -32 = -1.5 . A fórmula para o ponto médio entre dois pontos Mz = -2 + (-2)2 = -42 = -2 e é:
Aplicando os valores de e :
Então, o ponto médio é .

Passo 3

Agora, vamos determinar o vetor diretor AB = B - A = (1-4, 0-(-3), -2-(-2)) = (-3, 3, 0) da direção de para . O vetor é dado por:
Esse vetor será o vetor normal do plano, já que o plano é perpendicular à direção de .

Passo 4

Com o vetor normal a(x - x0) + b(y - y0) + c(z - z0) = 0 e o ponto -3(x - 2.5) + 3(y + 1.5) + 0(z + 2) = 0 no plano, podemos escrever a equação geral do plano na forma:
-3x + 7.5 + 3y + 4.5 = 0
Onde -3x + 3y + 12 = 0 é um ponto no plano e -x + y + 4 = 0 são as componentes do vetor normal. Substituindo:
-x + y + 4 = 0
Simplificando:
Podemos simplificar mais dividindo todos os termos por 3:
Então, a equação do plano é:

Passo 5

Agora, vamos calcular a distância do ponto D = |a x0 + b y0 + c z0 + d|raiza^2 + b^2 + c^2 até o plano D = |(-1)(0) + (1)(0) + (0)(0) + 4|raiz(-1)^2 + 1^2 + 0^2 = |0 + 0 + 0 + 4|raiz1 + 1 + 0 = 4raiz2 = 41.4142 approx 2.828 . A fórmula para a distância de um ponto até um plano é:
No nosso caso, , , , e . Substituindo na fórmula:

Resposta

F. 2.828

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