Considere e o plano . Calcule o ponto que satisfaz: e (b) é ortogonal ao plano. é:
A. 0.967
B. 0.973
C. 0.969
D. 0.977
E. 0.975
F. 0.971

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um ponto e um plano definido por . A tarefa é encontrar o ponto tal que o vetor seja ortogonal ao plano . Depois, vamos calcular o produto escalar de com o vetor e ver qual das opções corresponde ao resultado. Para isso, vamos precisar entender conceitos de vetores, planos, ortogonalidade e produto escalar.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa que o vetor é ortogonal ao plano . Se um vetor é ortogonal a um plano, isso quer dizer que ele é perpendicular a qualquer vetor que esteja no plano. A direção normal ao plano é dada pelo vetor dos coeficientes das variáveis na equação do plano. No caso, o vetor normal é .

Passo 3

Como é ortogonal ao plano, ele deve ser paralelo ao vetor normal . Isso significa que pode ser escrito como um múltiplo escalar de :
onde é um número real que vamos determinar.

Passo 4

Vamos expressar as coordenadas do ponto em termos de e . Sabemos que:
Então, as coordenadas de são:

Passo 5

Agora, como está no plano , ele deve satisfazer a equação do plano:
Substituindo as coordenadas de :
Vamos resolver essa equação para encontrar .

Passo 6

Expandindo os termos:
Somando os termos semelhantes:
Agora, isolando :

Passo 7

Agora que temos o valor de , vamos encontrar as coordenadas de :
Calculando cada coordenada:
Então, .

Passo 8

Agora, vamos calcular o produto escalar de com o vetor :
Calculando cada termo:
Para somar essas frações, vamos colocar todas com denominador 35:

Resposta

A opção correta é F. 0.971.

Exercícios relacionados

Sejam e .
(a) Calcule a equação vetorial (paramétrica) da reta que passe por
Sejam e . É verdade que ?
c) calcular .
Calcule a distância de ao plano que passa pelo ponto médio do segmento com extremos

e e que seja ortogonal à direção .
A. 2.822
B. 2.824
C. 2.832
D. 2.830
E. 2.826
F. 2.828