Considere e o plano . Calcule o ponto que satisfaz: e (b) é ortogonal ao plano. é:
A. 0.967
B. 0.973
C. 0.969
D. 0.977
E. 0.975
F. 0.971
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um ponto e um plano definido por . A tarefa é encontrar o ponto tal que o vetor seja ortogonal ao plano . Depois, vamos calcular o produto escalar de com o vetor e ver qual das opções corresponde ao resultado. Para isso, vamos precisar entender conceitos de vetores, planos, ortogonalidade e produto escalar.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa que o vetor é ortogonal ao plano . Se um vetor é ortogonal a um plano, isso quer dizer que ele é perpendicular a qualquer vetor que esteja no plano. A direção normal ao plano é dada pelo vetor dos coeficientes das variáveis na equação do plano. No caso, o vetor normal é .
Passo 3
Como é ortogonal ao plano, ele deve ser paralelo ao vetor normal . Isso significa que pode ser escrito como um múltiplo escalar de :
onde é um número real que vamos determinar.
Passo 4
Vamos expressar as coordenadas do ponto em termos de e . Sabemos que:
Então, as coordenadas de são:
Passo 5
Agora, como está no plano , ele deve satisfazer a equação do plano:
Substituindo as coordenadas de :
Vamos resolver essa equação para encontrar .
Passo 6
Expandindo os termos:
Somando os termos semelhantes:
Agora, isolando :
Passo 7
Agora que temos o valor de , vamos encontrar as coordenadas de :
Calculando cada coordenada:
Então, .
Passo 8
Agora, vamos calcular o produto escalar de com o vetor :
Calculando cada termo:
Para somar essas frações, vamos colocar todas com denominador 35: