Considere e o plano . Calcule o ponto que satisfaz: e (b) é ortogonal ao plano. é:
A. 0.967
B. 0.973
C. 0.969
D. 0.977
E. 0.975
F. 0.971
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um ponto e um plano definido por . A tarefa é encontrar o ponto tal que o vetor seja ortogonal ao plano . Depois, vamos calcular o produto escalar de com o vetor e ver qual das opções corresponde ao resultado. Para isso, vamos precisar entender conceitos de vetores, planos, ortogonalidade e produto escalar.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa que o vetor é ortogonal ao plano . Se um vetor é ortogonal a um plano, isso quer dizer que ele é perpendicular a qualquer vetor que esteja no plano. A direção normal ao plano é dada pelo vetor dos coeficientes das variáveis na equação do plano. No caso, o vetor normal é .
Passo 3
Como QP = k cdot n = k cdot (5, -3, -1) é ortogonal ao plano, ele deve ser paralelo ao vetor normal . Isso significa que pode ser escrito como um múltiplo escalar de :
onde é um número real que vamos determinar.
Passo 4
Vamos expressar as coordenadas do ponto P = Q + QP = (2, -3, 2) + k cdot (5, -3, -1) em termos de P = (2 + 5k, -3 - 3k, 2 - k) e . Sabemos que:
Então, as coordenadas de são:
Passo 5
Agora, como 5x - 3y - z = 16 está no plano 5(2 + 5k) - 3(-3 - 3k) - (2 - k) = 16 , ele deve satisfazer a equação do plano:
Substituindo as coordenadas de :
Vamos resolver essa equação para encontrar .
Passo 6
Expandindo os termos:
10 + 25k + 9 + 9k - 2 + k = 16
Somando os termos semelhantes:
(25k + 9k + k) + (10 + 9 - 2) = 16
35k + 17 = 16
Agora, isolando 35k = 16 - 17 :
35k = -1
k = -135
Passo 7
Agora que temos o valor de P = (2 + 5(-135), -3 - 3(-135), 2 - (-135)) , vamos encontrar as coordenadas de x = 2 - 535 = 2 - 17 = 147 - 17 = 137 :
y = -3 + 335 = -10535 + 335 = -10235
Calculando cada coordenada:
z = 2 + 135 = 7035 + 135 = 7135
Então, .
Passo 8
Agora, vamos calcular o produto escalar de P cdot (1, 1, 1) = (137) cdot 1 + (-10235) cdot 1 + (7135) cdot 1 com o vetor 137 + (-10235) + 7135 = 137 - 10235 + 7135 :