Encontre vetores geradores para cada um dos subespaços descritos abaixo. C=(x, y, z) in R^3 mid x+y-z=0

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos um subespaço definido por todos os vetores em que satisfazem a equação . Nosso objetivo aqui é encontrar vetores que geram esse subespaço, ou seja, vetores que, combinados de forma linear, conseguem formar qualquer vetor que esteja em . Para resolver isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, especificamente sobre subespaços vetoriais e a ideia de gerar um subespaço com vetores.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa z = x + y . Essa é uma equação que define uma relação entre as coordenadas , e dos vetores em . Podemos rearranjar essa equação para expressar uma das variáveis em termos das outras. Por exemplo, podemos isolar :
Isso nos mostra que, para qualquer vetor em , o valor da coordenada é a soma de e .

Passo 3

Agora, vamos expressar um vetor genérico em (x, y, z) = (x, y, x + y) usando essa relação. Se , então qualquer vetor em pode ser escrito como:
Aqui, podemos ver que e são parâmetros livres, ou seja, eles podem assumir qualquer valor real. Isso significa que podemos escolher e como variáveis independentes e expressar o vetor em função delas.

Passo 4

Vamos reescrever o vetor (x, y, x + y) = x cdot (1, 0, 1) + y cdot (0, 1, 1) como uma combinação linear de dois vetores. Podemos separar os termos que dependem de e de :
Aqui, é o vetor que multiplica e é o vetor que multiplica . Isso mostra que qualquer vetor em pode ser construído combinando esses dois vetores com os coeficientes e .

Passo 5

Os vetores e são, portanto, vetores geradores para o subespaço . Eles formam o que chamamos de base para , já que são suficientes para gerar todo o subespaço através de combinações lineares e são linearmente independentes.

Resposta

Os vetores geradores para o subespaço são e .

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