Encontre vetores geradores para cada um dos subespaços descritos abaixo.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos um subespaço
definido por todos os vetores
em
que satisfazem a equação
. Nosso objetivo aqui é encontrar vetores que geram esse subespaço, ou seja, vetores que, combinados de forma linear, conseguem formar qualquer vetor que esteja em
. Para resolver isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, especificamente sobre subespaços vetoriais e a ideia de gerar um subespaço com vetores.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa
. Essa é uma equação que define uma relação entre as coordenadas
,
e
dos vetores em
. Podemos rearranjar essa equação para expressar uma das variáveis em termos das outras. Por exemplo, podemos isolar
:
Isso nos mostra que, para qualquer vetor em
, o valor da coordenada
é a soma de
e
.
Passo 3
Agora, vamos expressar um vetor genérico em
usando essa relação. Se
, então qualquer vetor em
pode ser escrito como:
Aqui, podemos ver que
e
são parâmetros livres, ou seja, eles podem assumir qualquer valor real. Isso significa que podemos escolher
e
como variáveis independentes e expressar o vetor em função delas.
Passo 4
Vamos reescrever o vetor
como uma combinação linear de dois vetores. Podemos separar os termos que dependem de
e de
:
Aqui,
é o vetor que multiplica
e
é o vetor que multiplica
. Isso mostra que qualquer vetor em
pode ser construído combinando esses dois vetores com os coeficientes
e
.
Passo 5
Os vetores
e
são, portanto, vetores geradores para o subespaço
. Eles formam o que chamamos de base para
, já que são suficientes para gerar todo o subespaço através de combinações lineares e são linearmente independentes.
Resposta
Os vetores geradores para o subespaço
são
e
.