c) calcular
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular a transformação linear
dadas as imagens dos vetores da base canônica em
. Ou seja, sabemos onde
manda cada um dos vetores
,
e
, e precisamos descobrir como
age em qualquer vetor
. Para isso, vamos usar as propriedades das transformações lineares.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que uma transformação linear
satisfaz duas propriedades importantes:
- Adição Vetorial:
- Multiplicação por Escalar:
Isso significa que podemos expressar
como uma combinação linear das transformações dos vetores da base.
Passo 3
Vamos escrever
como uma combinação dos vetores da base:
Aplicando a transformação
usando a linearidade:
Substituindo pelos valores dados:
Passo 4
Agora, vamos fazer as multiplicações e somar os vetores:
Somando as componentes correspondentes:
Resposta
A transformação linear é dada por: