T(1,0,0)=(2,1), T(0,1,0)=(-1,0) e T(0,0,1)=(1,-2)
c) calcular T(x, y, z).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular a transformação linear dadas as imagens dos vetores da base canônica em . Ou seja, sabemos onde manda cada um dos vetores , e , e precisamos descobrir como age em qualquer vetor . Para isso, vamos usar as propriedades das transformações lineares.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que uma transformação linear satisfaz duas propriedades importantes:
  1. Adição Vetorial:
  2. Multiplicação por Escalar:
Isso significa que podemos expressar como uma combinação linear das transformações dos vetores da base.

Passo 3

Vamos escrever (x, y, z) = x(1,0,0) + y(0,1,0) + z(0,0,1) como uma combinação dos vetores da base:
T(x, y, z) = x cdot T(1,0,0) + y cdot T(0,1,0) + z cdot T(0,0,1)
Aplicando a transformação T(x, y, z) = x cdot (2,1) + y cdot (-1,0) + z cdot (1,-2) usando a linearidade:
Substituindo pelos valores dados:

Passo 4

Agora, vamos fazer as multiplicações e somar os vetores:
T(x, y, z) = (2x, x) + (-y, 0) + (z, -2z)
Somando as componentes correspondentes:
T(x, y, z) = (2x - y + z,, x - 2z)

Resposta

A transformação linear é dada por:
T(x, y, z) = (2x - y + z, x - 2z)

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