Sejam alpha=(1,0),(0,2), beta=(-1,0),(1,1), gamma=(1,1),(-1,0) bases ordenadas de R^2. Determine:
(b) [I]beta^gamma

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão juntos! O enunciado pede para determinar a matriz de transição da base beta para a base gamma no espaço R^2. Isso está relacionado ao conteúdo de Mudança de Base em álgebra linear. Para resolver, vamos precisar entender como expressar os vetores da base beta na base gamma.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma matriz de transição. Essa matriz, denotada por [I]beta^gamma, serve para converter as coordenadas de um vetor da base beta para a base gamma. Ou seja, se tivermos um vetor representado na base beta, essa matriz nos ajuda a encontrar sua representação na base gamma.

Passo 3

Para encontrar [I]beta^gamma, precisamos expressar cada vetor da base beta como uma combinação linear dos vetores da base gamma. Vamos fazer isso passo a passo para cada vetor de beta.

Passo 4

Primeiro, vamos identificar os vetores das bases:
  • Base beta: beta1 = (-1, 0) e beta2 = (1, 1)
  • Base gamma: gamma1 = (1, 1) e gamma2 = (-1, 0)
Queremos encontrar coeficientes a e b tais que:
betai = a cdot gamma1 + b cdot gamma2
para i = 1, 2.

Passo 5

Vamos começar com beta1 = (-1, 0). Precisamos resolver o sistema:
(-1, 0) = a cdot (1, 1) + b cdot (-1, 0)
Isso dá as equações:
-1 = a cdot 1 + b cdot (-1) (1)
0 = a cdot 1 + b cdot 0 (2)

Passo 6

Da equação (2), temos:
0 = a
Então, a = 0.
Substituindo a = 0 na equação (1):
-1 = 0 + b cdot (-1) implies -1 = -b implies b = 1
Então, beta1 = 0 cdot gamma1 + 1 cdot gamma2.

Passo 7

Agora, vamos para beta2 = (1, 1). Precisamos resolver:
(1, 1) = a cdot (1, 1) + b cdot (-1, 0)
Isso resulta nas equações:
1 = a cdot 1 + b cdot (-1) (3)
1 = a cdot 1 + b cdot 0 (4)

Passo 8

Da equação (4), temos:
1 = a
Então, a = 1.
Substituindo a = 1 na equação (3):
1 = 1 + b cdot (-1) implies 1 = 1 - b implies b = 0
Então, beta2 = 1 cdot gamma1 + 0 cdot gamma2.

Passo 9

Agora que temos as combinações lineares, podemos construir a matriz de transição [I]beta^gamma. Essa matriz terá como colunas os coeficientes encontrados para cada vetor de beta na base gamma.
Para beta1: (0, 1)
Para beta2: (1, 0)
Então,
[I]beta^gamma = 0 & 1 1 & 0

Resposta

A matriz de transição de beta para gamma é:
[I]beta^gamma = 0 & 1 1 & 0

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