Sejam
bases ordenadas de
. Determine:
(b)
(b)
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa questão juntos! O enunciado pede para determinar a matriz de transição da base
para a base
no espaço
. Isso está relacionado ao conteúdo de Mudança de Base em álgebra linear. Para resolver, vamos precisar entender como expressar os vetores da base
na base
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma matriz de transição. Essa matriz, denotada por
, serve para converter as coordenadas de um vetor da base
para a base
. Ou seja, se tivermos um vetor representado na base
, essa matriz nos ajuda a encontrar sua representação na base
.
Passo 3
Para encontrar
, precisamos expressar cada vetor da base
como uma combinação linear dos vetores da base
. Vamos fazer isso passo a passo para cada vetor de
.
Passo 4
Primeiro, vamos identificar os vetores das bases:
- Base
: e - Base
: e
Queremos encontrar coeficientes
e
tais que:
para
.
Passo 5
Vamos começar com
. Precisamos resolver o sistema:
Isso dá as equações:
Passo 6
Da equação (2), temos:
Então,
.
Substituindo
na equação (1):
Então,
.
Passo 7
Agora, vamos para
. Precisamos resolver:
Isso resulta nas equações:
Passo 8
Da equação (4), temos:
Então,
.
Substituindo
na equação (3):
Então,
.
Passo 9
Agora que temos as combinações lineares, podemos construir a matriz de transição
. Essa matriz terá como colunas os coeficientes encontrados para cada vetor de
na base
.
Para
:
Para
:
Então,
Resposta
A matriz de transição de
para
é:
Exercícios relacionados
Calcule a distância de
ao plano que passa pelo ponto médio do segmento com extremos
e e que seja ortogonal à direção
.
A. 2.822
B. 2.824
C. 2.832
D. 2.830
E. 2.826
F. 2.828
e
A. 2.822
B. 2.824
C. 2.832
D. 2.830
E. 2.826
F. 2.828
c) calcular
.
Encontre vetores geradores para cada um dos subespaços descritos abaixo.
Encontre vetores geradores para cada um dos subespaços descritos abaixo.