Sejam bases ordenadas de . Determine:
(b)

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão juntos! O enunciado pede para determinar a matriz de transição da base para a base no espaço . Isso está relacionado ao conteúdo de Mudança de Base em álgebra linear. Para resolver, vamos precisar entender como expressar os vetores da base na base .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma matriz de transição. Essa matriz, denotada por , serve para converter as coordenadas de um vetor da base para a base . Ou seja, se tivermos um vetor representado na base , essa matriz nos ajuda a encontrar sua representação na base .

Passo 3

Para encontrar , precisamos expressar cada vetor da base como uma combinação linear dos vetores da base . Vamos fazer isso passo a passo para cada vetor de .

Passo 4

Primeiro, vamos identificar os vetores das bases:
  • Base : e
  • Base : e
Queremos encontrar coeficientes e tais que:
para .

Passo 5

Vamos começar com . Precisamos resolver o sistema:
Isso dá as equações:

Passo 6

Da equação (2), temos:
Então, .
Substituindo na equação (1):
Então, .

Passo 7

Agora, vamos para . Precisamos resolver:
Isso resulta nas equações:

Passo 8

Da equação (4), temos:
Então, .
Substituindo na equação (3):
Então, .

Passo 9

Agora que temos as combinações lineares, podemos construir a matriz de transição . Essa matriz terá como colunas os coeficientes encontrados para cada vetor de na base .
Para :
Para :
Então,

Resposta

A matriz de transição de para é:

Exercícios relacionados

Calcule a distância de ao plano que passa pelo ponto médio do segmento com extremos

e e que seja ortogonal à direção .
A. 2.822
B. 2.824
C. 2.832
D. 2.830
E. 2.826
F. 2.828
c) calcular .
Encontre vetores geradores para cada um dos subespaços descritos abaixo.
Encontre vetores geradores para cada um dos subespaços descritos abaixo.