Calcule a distância entre os planos paralelos pi1: 2 x+2 y+2 z-5=0 e pi2: 3 x+3 y+3 z-3=0.

Passo 1

Vamos resumir o problema: precisamos calcular a distância entre dois planos paralelos dados pelas equações pi1: 2x + 2y + 2z - 5 = 0 e pi2: 3x + 3y + 3z - 3 = 0. Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, especificamente a fórmula para a distância entre planos paralelos.

Passo 2

Primeiro, identificamos os vetores normais dos planos. O vetor normal de um plano é dado pelos coeficientes de x, y e z.
  • Para pi1, o vetor normal é n1 = (2, 2, 2).
  • Para pi2, o vetor normal é n2 = (3, 3, 3).
Observamos que n2 é um múltiplo de n1, o que confirma que os planos são paralelos.

Passo 3

A fórmula para calcular a distância d entre dois planos paralelos Ax + By + Cz + D1 = 0 e Ax + By + Cz + D2 = 0 é:
d = |D2 - D1|raizA^2 + B^2 + C^2
No nosso caso, precisamos ajustar as equações dos planos para ficarem na mesma forma.

Passo 4

Vamos reescrever as equações dos planos de maneira que os coeficientes de x, y e z sejam os mesmos. Podemos dividir a equação de pi2 por 1.5 para igualar ao vetor normal de pi1:
pi2: 31.5x + 31.5y + 31.5z - 31.5 = 0 Rightarrow 2x + 2y + 2z - 2 = 0
Agora, temos:
  • pi1: 2x + 2y + 2z - 5 = 0 (com D1 = -5)
  • pi2: 2x + 2y + 2z - 2 = 0 (com D2 = -2)

Passo 5

Aplicando a fórmula da distância:
d = |D2 - D1|raizA^2 + B^2 + C^2 = |-2 - (-5)|raiz2^2 + 2^2 + 2^2 = 3raiz12 = 32raiz3 = raiz32

Resposta

A distância entre os planos é raiz32 unidades.

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